Ce que demande cette question
La question 10 de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS 2021 vous confronte à un grand classique : l'étude d'une variable aléatoire discrète dont l'ensemble des valeurs possibles est infini. L'énoncé définit une variable prenant ses valeurs dans l'ensemble des entiers naturels non nuls. La probabilité que cette variable prenne une valeur entière est donnée par une formule dépendant d'un paramètre réel strictement compris entre zéro et un. Si vous êtes bien préparé, vous reconnaîtrez l'expression caractéristique d'une loi géométrique, qui modélise le temps d'attente du premier succès dans une succession d'épreuves indépendantes.
Le sujet vous demande d'évaluer quatre affirmations nécessitant une bonne aisance calculatoire. Les deux premières vous invitent à calculer des probabilités cumulées simples. Vous devrez déterminer la probabilité que la variable soit supérieure ou égale à deux, ainsi que la probabilité qu'elle soit inférieure ou égale à deux. La troisième affirmation élève le niveau en vous demandant de calculer la somme des probabilités pour les premières valeurs de la variable, ce qui fait appel à vos connaissances sur les suites. Enfin, la dernière affirmation sort du cadre des probabilités pour vous emmener vers l'algèbre. Vous devrez construire une fonction à partir de la probabilité que la variable prenne la valeur deux, puis déterminer si cette fonction polynomiale admet des racines réelles distinctes.
Les notions à maîtriser
Pour aborder cette question sereinement, vous devez mobiliser plusieurs concepts fondamentaux du programme :
- Les variables aléatoires discrètes : comprendre comment une probabilité se distribue sur une infinité de valeurs et savoir manipuler l'expression d'une loi géométrique.
- Le passage par l'événement contraire : une technique indispensable pour calculer efficacement des probabilités du type supérieur ou égal, en évitant de sommer une infinité de termes.
- La somme des termes d'une suite géométrique : connaître la formule permettant de sommer les termes consécutifs d'une suite, en prêtant attention au nombre réel de termes sommés.
- Le polynôme du second degré : savoir poser une équation du second degré, calculer un discriminant et en déduire le nombre de solutions réelles.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
Le concours ACCÈS présente une structure particulière qu'il faut intégrer à votre stratégie. L'épreuve est un questionnaire où chaque question comporte quatre affirmations indépendantes à juger vraies ou fausses. Le barème sanctionne sévèrement le hasard. Gardez toujours à l'esprit qu'une erreur coûte plus qu'une absence de réponse. Si vous n'êtes pas absolument certain de votre calcul sur l'une des affirmations, il est préférable de s'abstenir plutôt que de risquer de perdre des points précieux.
Sur cette question spécifique, le principal piège réside dans la manipulation des indices lors du calcul de la somme. Les concepteurs jouent fréquemment sur la confusion entre le rang et le nombre de termes. Prenez le temps d'écrire les premiers termes au brouillon pour identifier clairement la raison et le nombre d'éléments à additionner. Un autre piège classique se cache dans la dernière affirmation : en cherchant les racines de la fonction polynomiale, n'oubliez pas de vérifier si les solutions trouvées appartiennent bien à l'ensemble de définition du paramètre, qui est ici strictement restreint. Prenez le temps de poser chaque étape avec rigueur.