Ce que demande cette question

La question 10 de l'épreuve de raisonnement mathématique du concours ACCÈS 2015 vous confronte à une étude approfondie de la fonction logarithme népérien, notée f(x) = ln(x). À travers quatre affirmations indépendantes, l'énoncé vous demande d'analyser les propriétés analytiques et géométriques de cette fonction de référence. Vous devrez tout d'abord déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative au point d'abscisse e, la base du logarithme népérien. Ensuite, il vous est demandé d'étudier la position relative de la courbe par rapport à l'ensemble de ses tangentes sur son domaine de définition, ce qui fait appel à la notion de convexité ou de concavité. La troisième affirmation vous interroge sur le lien fondamental qui unit la fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle, notamment en ce qui concerne leur statut de fonctions réciproques et la traduction graphique de cette relation par une symétrie axiale spécifique. Enfin, la dernière proposition requiert le calcul de la dérivée seconde de la fonction logarithme afin d'en vérifier l'expression algébrique proposée. Il s'agit donc d'un exercice de synthèse classique mais exigeant sur les fonctions transcendantes.

Les notions à maîtriser

• Le calcul de la dérivée première de la fonction logarithme népérien et la formule générale de l'équation d'une tangente en un point donné.
• La notion de convexité et de concavité d'une fonction, déterminée par le signe de sa dérivée seconde, pour déduire la position de la courbe par rapport à ses tangentes.
• Le concept de bijection et de fonction réciproque, ainsi que la propriété géométrique liant les courbes représentatives de deux fonctions réciproques dans un repère orthonormé.
• Le calcul des dérivées successives, en particulier la dérivation de la fonction inverse pour obtenir la dérivée seconde du logarithme.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Pour réussir cette question du concours ACCÈS, il est impératif de faire preuve de rigueur dans vos calculs et de bien connaître votre cours sur les fonctions de référence. L'un des pièges fréquents réside dans le calcul de l'équation de la tangente : veillez à ne pas confondre l'abscisse du point avec la valeur de la fonction ou de sa dérivée en ce point. De plus, lors de l'étude de la convexité, rappelez-vous qu'une erreur de signe lors du calcul de la dérivée seconde inversera totalement votre conclusion sur la position de la courbe. Concernant la symétrie des fonctions réciproques, assurez-vous de bien identifier la droite d'équation y = x, appelée première bissectrice, et non une autre droite remarquable.

Gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations qu'il faut évaluer par VRAI ou FAUX. Une mauvaise réponse est lourdement pénalisée par des points négatifs, tandis qu'une absence de réponse rapporte zéro point. Ainsi, une erreur coûte systématiquement plus cher qu'une abstention. Si vous avez un doute persistant sur le calcul de la dérivée seconde ou sur une propriété géométrique, il est stratégiquement préférable de ne pas cocher la case plutôt que de risquer de perdre les points accumulés sur les autres affirmations de la question. Prenez le temps de poser vos calculs au brouillon, même pour des dérivées qui vous semblent évidentes au premier abord.