Ce que demande cette question

Dans cette sixième question de l'épreuve de raisonnement logique du concours ACCÈS 2014, vous êtes confronté à un problème classique d'optimisation et de répartition dans des ensembles croisés. L'énoncé vous place dans le contexte d'une école de commerce où une promotion de deux cents étudiants doit obligatoirement étudier au moins l'une des trois langues proposées : l'anglais, l'espagnol ou l'allemand. Vous disposez des effectifs globaux pour chaque langue étudiée, à savoir cent soixante étudiants pour l'anglais, cent vingt pour l'espagnol et soixante pour l'allemand.

La difficulté principale de cet énoncé réside dans le fait que la somme des effectifs par langue dépasse largement le nombre total d'étudiants de la promotion. Cela implique nécessairement que de nombreux étudiants pratiquent deux, voire trois langues simultanément. Les quatre affirmations qui vous sont soumises ne vous demandent pas de trouver une répartition unique, car les données initiales ne le permettent pas. Au contraire, chaque proposition introduit une condition supplémentaire hypothétique, comme un nombre précis d'étudiants trilingues ou monolingues, et vous demande de déduire si la conséquence énoncée est mathématiquement vraie ou fausse. Vous devrez ainsi jongler avec les intersections et les unions pour valider ou invalider ces déductions logiques.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question avec sérénité, il est indispensable de mobiliser plusieurs concepts fondamentaux du programme de mathématiques :

• Le principe d'inclusion-exclusion : Vous devez savoir formuler la réunion de trois ensembles en soustrayant les intersections doubles et en rajoutant l'intersection triple pour éviter de compter plusieurs fois les mêmes éléments.
• La modélisation par diagramme de Venn : Il est crucial de savoir représenter visuellement trois patates qui s'entrecroisent pour matérialiser les sept zones distinctes correspondant aux différentes combinaisons de langues.
• La mise en équation de problèmes de dénombrement : Vous devez être capable de traduire les effectifs donnés en un système d'équations linéaires, en posant par exemple des variables pour le nombre d'étudiants pratiquant exactement une, deux ou trois langues.
• La manipulation des inégalités : Certaines affirmations exigent de déterminer des valeurs maximales ou minimales pour une catégorie d'étudiants, ce qui requiert une bonne aisance avec les bornes logiques des ensembles.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

La méthode la plus efficace pour résoudre ce type de problème consiste à structurer immédiatement votre brouillon. Ne tentez pas de deviner les résultats de tête. Tracez un grand diagramme de Venn avec trois cercles entrelacés. Identifiez clairement les zones : ceux qui ne parlent qu'une seule langue, ceux qui en parlent exactement deux, et ceux qui maîtrisent les trois. Posez ensuite vos équations fondamentales. Vous savez que la somme totale des étudiants est de deux cents, et que la somme des effectifs bruts par langue correspond à la somme des étudiants monolingues, plus deux fois les bilingues, plus trois fois les trilingues.

Le piège le plus fréquent dans ce genre d'énoncé est la confusion sémantique. L'énoncé indique que cent soixante étudiants pratiquent l'anglais, et non qu'ils pratiquent uniquement l'anglais. Il est impératif de bien distinguer l'effectif total d'un ensemble de l'effectif de sa partie stricte. Prenez le temps de lire chaque mot des affirmations, car un terme comme "exactement" ou "seulement" modifie radicalement la traduction mathématique de la phrase.

Enfin, gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations indépendantes qu'il faut juger vraies ou fausses. Une mauvaise réponse est lourdement sanctionnée par des points négatifs, et une erreur coûte plus cher qu'une absence de réponse. Si, après avoir posé vos équations, vous ne parvenez pas à démontrer avec certitude la véracité ou la fausseté d'une proposition, il est stratégiquement préférable de vous abstenir plutôt que de cocher au hasard et de risquer de perdre les points accumulés sur les autres affirmations.