Ce que demande cette question
L'énoncé de cette seizième question de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2011 vous plonge dans un problème classique de probabilités discrètes. Vous êtes face à une urne contenant un nombre total de boules paramétré par la variable n, avec une condition initiale stipulant que n est supérieur ou égal à six. Parmi ces boules, exactement quatre sont blanches, ce qui implique que le reste, soit n - 4 boules, est de couleur rouge. L'expérience aléatoire décrite consiste à effectuer deux tirages successifs sans remettre la première boule dans le sac avant de piocher la seconde. Les quatre affirmations proposées vous demandent d'exprimer, en fonction du paramètre n, les probabilités de différents évènements. Vous devrez notamment vérifier la probabilité d'obtenir deux boules rouges, d'obtenir une boule blanche puis une rouge dans un ordre précis, de tirer deux boules de la même couleur, et enfin de comparer les probabilités de deux séquences de tirages inversées. Il s'agit donc de traduire mathématiquement l'énoncé pour valider ou invalider les expressions algébriques fournies dans chaque item.
Les notions à maîtriser
Pour aborder sereinement cette question, vous devez être à l'aise avec plusieurs concepts fondamentaux du programme de probabilités. Voici les points essentiels à mobiliser :
- La modélisation par un arbre pondéré : savoir construire un arbre de probabilités représentant des tirages successifs, en ajustant les dénominateurs et les numérateurs à chaque étape.
- Les probabilités conditionnelles : comprendre l'impact du non-remise de la première boule sur la composition de l'urne lors du second tirage.
- La formule des probabilités totales : être capable d'additionner les probabilités de plusieurs chemins disjoints pour calculer la probabilité d'un évènement global, comme le fait d'obtenir deux boules de même couleur.
- Le calcul algébrique avec des fractions rationnelles : savoir développer, factoriser et simplifier des expressions contenant une variable n au numérateur et au dénominateur.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
Dans le cadre spécifique du concours ACCÈS, la gestion du temps et la précision de vos calculs sont déterminantes. Face à un problème paramétré par n, la première étape recommandée est de dessiner rapidement un arbre de probabilités au brouillon. Indiquez clairement les effectifs restants après le premier tirage : le nombre total de boules passe de n à n - 1. C'est ici que réside le piège principal. De nombreux candidats oublient de décrémenter le dénominateur ou se trompent en soustrayant les effectifs des boules rouges, qui passent de n - 4 à n - 5 si une rouge a été tirée.
Prenez garde aux expressions algébriques proposées dans les affirmations. Parfois, un simple test avec une valeur numérique permise, par exemple en posant n = 6, peut vous permettre d'éliminer rapidement une proposition fausse sans avoir à développer de longs calculs littéraux. Cependant, si le test numérique fonctionne, il ne prouve pas que la formule est vraie pour tout n, et le calcul algébrique rigoureux reste indispensable pour affirmer qu'une proposition est vraie.
Gardez toujours à l'esprit le système de notation de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques. Le barème pénalise lourdement les erreurs : une erreur coûte plus qu'une absence de réponse. Si vos calculs algébriques vous semblent trop incertains ou si vous bloquez sur la simplification d'une fraction, il est souvent plus stratégique de ne pas cocher la case plutôt que de risquer des points négatifs. La prudence et la rigueur sont vos meilleurs atouts pour réussir.