Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet Amérique du Sud 2015, propose une mise en situation concrète : le choix d'un abonnement de transport. Bien qu'initialement posé au niveau brevet, son exploitation en classe de Première Spécialité permet de travailler la modélisation par des suites arithmétiques ou des fonctions affines. La problématique centrale est la recherche d'un seuil de rentabilité, une compétence clé du programme de mathématiques.

Points de vigilance et notions requises

Pour résoudre ce problème, l'élève doit être capable de :

• Traduire un énoncé en équations ou inéquations.
• Identifier la nature des évolutions : ici, nous avons deux suites arithmétiques de raisons respectives 40 et 20.
• Résoudre une inéquation du premier degré.
• Interpréter un résultat décimal dans un contexte discret (le nombre de voyages est un entier).

Correction détaillée

Soit $n$ le nombre d'allers-retours effectués par Sophie au cours d'une année.

Formule A (sans abonnement) : Chaque voyage coûte 40€. Le coût total est donc $C_A(n) = 40n$.

Formule B (avec abonnement) : Sophie paie un coût fixe de 442€, puis chaque voyage coûte 20€ (moitié prix de 40€). Le coût total est donc $C_B(n) = 20n + 442$.

Nous cherchons à partir de quel nombre de voyages la Formule B devient plus avantageuse que la Formule A, c'est-à-dire quand $C_B(n) < C_A(n)$.

Résolution de l'inéquation :
$20n + 442 < 40n$
$442 < 20n$
$n > \frac{442}{20}$
$n > 22,1$

Conclusion : Le nombre de voyages étant un nombre entier, la formule avec abonnement devient avantageuse à partir de 23 allers-retours par an. En dessous de 22 voyages, la formule sans abonnement est préférable. À 22 voyages pile, la formule A coûte 880€ et la formule B coûte 882€.