Introduction aux notions de Géométrie et Grandeurs

Cet exercice du Brevet des collèges 2026 (Zone Étrangers) est une synthèse parfaite des compétences attendues en fin de cycle 4. Il mobilise deux piliers du programme de mathématiques de 3ème : la géométrie dans l'espace (calculs de volumes complexes) et la gestion de grandeurs et mesures (conversions d'unités et analyse de tarifs commerciaux). L'exercice se divise en deux parties indépendantes, permettant d'évaluer la capacité de l'élève à modéliser un objet réel (une gélule de confiserie) puis à résoudre un problème de la vie courante (optimisation d'achat).

Analyse Méthodique de la Partie A : Volume et Production

La première difficulté réside dans la lecture du schéma. La gélule n'est pas un solide simple, mais un assemblage de trois éléments : un cylindre central et deux demi-boules à chaque extrémité. La réunion de deux demi-boules identiques forme une boule complète de rayon $R$.

1. Détermination de la hauteur $h$

Le raisonnement doit être rigoureux : la longueur totale de la gélule est de $15$ mm. Elle est composée du cylindre de hauteur $h$ et de deux arrondis correspondant aux rayons des demi-sphères. Pour trouver $h$, on soustrait deux fois le rayon $R$ à la longueur totale : $15 - (2 \times 2,5) = 15 - 5 = 10$ mm. Il est crucial ici de bien identifier que le rayon s'applique horizontalement ET verticalement sur le schéma.

2. Calculs de volumes et validation d'affirmation

Pour le cylindre (question 2.a), l'application de la formule $V = \pi \times R^2 \times h$ donne : $V = \pi \times 2,5^2 \times 10 = 62,5\pi \approx 196,35$ mm³. L'arrondi à $196$ mm³ est donc justifié. Pour la question 2.b, l'élève doit ajouter le volume de la boule complète : $V_{boule} = \frac{4}{3} \times \pi \times 2,5^3 \approx 65,45$ mm³. Le volume total est donc $196,35 + 65,45 = 261,8$ mm³. Ce résultat valide l'affirmation de Léa, car $261,8$ est bien compris entre $260$ et $262$.

3. Conversion et capacité de production

C'est l'étape où beaucoup d'élèves trébuchent. La donnée est en Litres ($83$ L) alors que les volumes de bonbons sont en mm³. Le rappel $1\text{ L} = 1\text{ dm}^3$ est essentiel. Il faut savoir que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ }000\text{ }000\text{ mm}^3$. Ainsi, $83\text{ L} = 83\text{ }000\text{ }000\text{ mm}^3$. En divisant ce volume total par le volume d'un bonbon ($261,8$ mm³), on obtient environ $317\text{ }035$ bonbons. La réponse est donc affirmative : la confiserie peut produire plus de $300\text{ }000$ bonbons.

Analyse Méthodique de la Partie B : Optimisation Commerciale

Ici, on quitte la géométrie pour l'arithmétique. L'objectif est d'acheter $1$ kg ($1000$ g) de bonbons.

• Format A : Deux sachets de $500$ g sont nécessaires. Le coût est de $7,90 \times 2 = 15,80$ €.
• Format B : Quatre sachets de $250$ g sont nécessaires ($4 \times 250 = 1000$). L'offre promotionnelle indique que pour $3$ achetés, le $4$ème est à moitié prix. Le calcul est : $(3 \times 4,30) + (4,30 \div 2) = 12,90 + 2,15 = 15,05$ €.

La comparaison finale montre que le Format B est plus avantageux ($15,05$ € contre $15,80$ €).

Les Pièges à éviter

Le piège principal en géométrie est l'utilisation du diamètre à la place du rayon dans les formules de volume. Vérifiez toujours vos données ! Dans la partie conversion, l'erreur classique est d'oublier que pour les unités de volume, chaque passage d'unité (ex: cm³ vers mm³) nécessite un facteur $1000$ et non $10$. Enfin, en gestion de prix, attention à bien lire les conditions de promotion : s'agit-il d'une réduction sur le total ou sur un article précis ?

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Pour obtenir le maximum de points, structurez vos réponses : énoncez la formule utilisée, présentez le calcul avec les valeurs numériques, et concluez par une phrase claire incluant l'unité. Par exemple, pour la question 2.b, précisez : "En additionnant le volume du cylindre et celui de la boule, on obtient $261,8$ mm³". L'utilisation de mots de liaison comme "De plus", "Par conséquent" ou "On en déduit que" valorise votre copie auprès du correcteur.