Introduction aux notions de Géométrie Plane

Cet exercice issu du sujet du Brevet 2021 (zone Nouvelle-Calédonie) est une application concrète de la géométrie plane enseignée au cycle 4. Il mobilise principalement le théorème de Pythagore, pilier fondamental du programme de 3ème, ainsi que des compétences de gestion de données et de conversion de mesures. À travers l'exemple de la pose d'adhésif sur des vitres lors d'une alerte cyclonique, l'élève doit démontrer sa capacité à modéliser une situation réelle par un schéma géométrique et à effectuer une série de calculs chaînés avec rigueur.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice se décompose en trois phases logiques : le calcul d'une longueur, la validation d'une mesure complexe et la prise de décision finale.

1. Détermination de la longueur BI : L'usage de Pythagore

La première question demande de calculer la longueur de l'hypoténuse dans le triangle $BAI$. Le texte précise explicitement que $BAI$ est un triangle rectangle en $A$. C'est la condition sine qua non pour utiliser le théorème de Pythagore. Le raisonnement doit être présenté ainsi :
Dans le triangle $BAI$ rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore, on a l'égalité : $BI^2 = BA^2 + AI^2$.
En remplaçant par les valeurs numériques fournies : $BI^2 = 210^2 + 155^2$.
Calculons les carrés : $210 imes 210 = 44100$ et $155 imes 155 = 24025$.
On obtient donc $BI^2 = 44100 + 24025 = 68125$.
Pour trouver $BI$, on utilise la racine carrée : $BI = \sqrt{68125} \approx 260,99$ cm. L'énoncé demande un arrondi au cm près, soit $261$ cm. Cette étape est cruciale car une erreur d'arrondi ici se répercuterait sur toute la suite de l'exercice.

2. Justification de la longueur d'adhésif par vitre

Ici, on passe du triangle au rectangle. Une vitre est rectangulaire, et l'adhésif est posé sur les deux diagonales. Une propriété fondamentale du rectangle est que ses diagonales ont la même longueur. Ainsi, la longueur totale d'adhésif pour une vitre correspond à $2 \times BI$.
En utilisant la valeur non arrondie ou l'arrondi précédent : $2 \times 261 = 522$ cm. Pour comparer avec la valeur de $5,22$ m donnée dans l'énoncé, il faut maîtriser la conversion : $522$ cm $= 5,22$ m. La justification est donc complète : la structure rectangulaire implique deux diagonales égales, et la somme de leurs longueurs convertie en mètres correspond bien à la valeur cible.

3. Problème de stock : Joanne a-t-elle assez de rouleaux ?

La question finale demande une synthèse. Joanne possède 15 vitres. Chaque vitre nécessite environ $5,22$ m d'adhésif. La longueur totale nécessaire est donc : $15 \times 5,22 = 78,3$ m.
D'autre part, Joanne dispose de 7 rouleaux de 10 m, soit une longueur totale disponible de $7 \times 10 = 70$ m.
En comparant les deux résultats ($78,3 > 70$), on conclut de manière logique que Joanne n'a pas assez d'adhésif pour sécuriser l'ensemble de ses 15 vitres.

Les Pièges à éviter

Le premier piège est l'oubli des unités. Travailler avec des cm pour les côtés du triangle puis comparer avec des mètres pour les rouleaux sans convertir est une erreur classique. Le second piège réside dans la lecture de l'énoncé : il y a deux diagonales par vitre. Beaucoup d'élèves ne comptent qu'une seule diagonale, ce qui fausse le résultat final par un facteur deux. Enfin, veillez à ne pas confondre le périmètre du rectangle avec la longueur des diagonales.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Citez toujours le théorème utilisé (Pythagore).
2. Précisez la configuration (triangle rectangle en quel point).
3. Détaillez vos étapes de calcul (carrés, somme, racine carrée).
4. Faites une phrase de conclusion claire qui répond à la question posée, notamment pour la question 3 où une simple réponse 'oui' ou 'non' sans calcul de comparaison est insuffisante.