Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2017, constitue une excellente base de révision pour les élèves de Première Spécialité Mathématiques afin de consolider les notions d'univers, d'équiprobabilité et d'évolution de probabilités dans un système sans remise. L'énoncé se divise en deux parties : une approche fréquentielle basée sur le dénombrement de lettres et une analyse de proportionnalité après une modification de l'échantillon.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs concepts fondamentaux doivent être maîtrisés :
- L'univers (Ω) : L'ensemble de toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire. Ici, il s'agit des lettres composant le mot 'BAKLAVA'.
- L'équiprobabilité : La mention 'indiscernables au toucher' garantit que chaque gâteau a la même probabilité d'être tiré (1/n).
- L'événement contraire : La probabilité que l'événement A ne se réalise pas est donnée par P(non A) = 1 - P(A).
- Tirage sans remise : L'issue du premier tirage modifie la composition totale du sachet et donc les probabilités des tirages suivants.
Guide de résolution détaillé
1. Détermination des issues
L'expérience consiste à tirer un gâteau et à observer la lettre. Bien que le sachet contienne 7 gâteaux, il n'y a que 5 lettres distinctes. Les issues possibles sont donc : {B, A, K, L, V}. Notez que l'issue 'A' est plus fréquente, mais elle constitue une seule catégorie d'issue.
2. Calcul des probabilités (Lettres)
Le mot BAKLAVA contient 7 lettres au total. C'est notre dénominateur pour l'équiprobabilité.
- Question 2a : Il y a une seule lettre 'L' dans le mot. La probabilité est donc P('L') = 1/7.
- Question 2b : Il y a trois lettres 'A' dans le mot. La probabilité de tirer un 'A' est P('A') = 3/7. Par conséquent, la probabilité de ne pas tirer un 'A' est P(non 'A') = 1 - 3/7 = 4/7.
3. Analyse du tirage d'Enzo (Probabilités évolutives)
Analysons la composition initiale du sachet de 10 baklavas :
- Pistaches : 2
- Noisettes : 4
- Noix : 10 - 2 - 4 = 4
La probabilité initiale de piocher un gâteau aux noix était de 4/10 (soit 40%). Enzo mange un gâteau à base de noix. La nouvelle composition du sachet est alors :
- Total : 9 gâteaux restants.
- Noix : 3 gâteaux restants.
La nouvelle probabilité de piocher un gâteau aux noix est P = 3/9 = 1/3 (environ 33,3%). Puisque 1/3 est inférieur à 4/10 (ou 0,33 < 0,40), Laura a tort : Enzo a moins de chances de piocher à nouveau un gâteau aux noix qu'au premier tirage.