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Exercice Première Spécialité - 2017 - Ex 3 : Géométrie et Théorème de Thalès

1 juin 2017 Troisième (Brevet)

Révise les fondamentaux de la Géométrie ! 📐

Même en Première Spécialité, les bases de la géométrie plane sont cruciales. Cet exercice sur le triangle rectangle et le parallélisme est le terrain d'entraînement parfait pour :

  • ✅ Perfectionner ton utilisation du théorème de Pythagore.
  • ✅ Maîtriser les rapports de Thalès pour prouver un parallélisme.
  • ✅ Gagner en précision sur les arrondis et les calculs de racines carrées.

Ne laisse aucune lacune freiner ta progression vers le produit scalaire et les vecteurs ! 🚀

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Ajouté par Galilee .ac le mardi 27 janvier 2026, 12:17.
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Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une base fondamentale pour les élèves de Première Spécialité Mathématiques. Il sollicite des compétences de géométrie euclidienne classique : le calcul de longueurs dans un triangle rectangle et la démonstration du parallélisme. En Première, ces notions évoluent vers la géométrie repérée et le produit scalaire, mais la maîtrise de Thalès et Pythagore reste le socle indispensable pour aborder des problèmes complexes de vecteurs et d'orthogonalité dans le plan.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, il faut être attentif à plusieurs points :

  • Le théorème de Pythagore : Utilisé pour calculer une longueur dans un triangle rectangle. Attention à bien identifier l'hypoténuse avant de poser l'égalité.
  • La précision : L'énoncé demande une valeur arrondie au dixième. Il ne faut pas oublier de manipuler les valeurs exactes (racines carrées) avant l'arrondi final.
  • Le théorème de Thalès : Pour prouver que deux droites sont parallèles, on utilise généralement la réciproque ou la contraposée du théorème de Thalès en comparant les rapports des côtés.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Calcul de la longueur CE :
Dans le triangle CDE rectangle en D, nous appliquons le théorème de Pythagore :
CE² = CD² + DE²
CE² = 6,8² + 3,4² = 46,24 + 11,56 = 57,8
CE = √57,8 ≈ 7,6 cm (arrondi au dixième).

2. Analyse du parallélisme entre (FG) et (DE) :
Pour vérifier si les droites (FG) et (DE) sont parallèles, nous examinons les rapports de longueurs issus du sommet commun C. Les points C, F, D d'une part et C, G, E d'autre part sont alignés.
Comparons les rapports CF/CD et FG/DE :
• CF/CD = 2 / 6,8 ≈ 0,2941
• FG/DE = 1 / 3,4

Remarquons que 1 / 3,4 est exactement égal à 2 / 6,8 (en multipliant le numérateur et le dénominateur par 2).
Puisque CF/CD = FG/DE et que les points sont alignés dans le même ordre, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (FG) et (DE) sont bien parallèles.

Lien avec le programme de Première Spécialité

En Première, ce type de configuration peut être analysé via le produit scalaire ou les vecteurs. Par exemple, on pourrait définir un repère (D; DE, CD) et utiliser les coordonnées des points pour vérifier le parallélisme via la condition de colinéarité des vecteurs FG et DE. Savoir passer d'une démonstration géométrique classique à une approche analytique est une compétence clé du cycle terminal.