Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une base d'étude fondamentale pour la Première Spécialité Mathématiques. Il illustre parfaitement la transition entre le raisonnement algorithmique visuel et la formalisation des suites numériques (arithmétiques et géométriques). Le cœur de l'exercice réside dans la compréhension de l'évolution d'une variable au sein d'une structure itérative (boucle).

Points de vigilance et notions de cours

• Modélisation par les suites : Le programme n°1 suit une logique de suite arithmétique de premier terme $u_0 = 10$ et de raison $r = 20$, définie par la relation de récurrence $u_{n+1} = u_n + 20$. Le programme n°2 suit une logique de suite géométrique de premier terme $v_0 = 10$ et de raison $q = 2$, définie par $v_{n+1} = 2v_n$.
• L'état des variables : Il est crucial de noter l'ordre des instructions. La variable est mise à jour après que le carré a été dessiné. Cela signifie que la valeur utilisée pour le tracé courant est celle définie à l'itération précédente (ou l'initialisation).
• Translation et itération : La question 2 introduit la notion de translation entre deux itérations. En Python, cela correspondrait à un déplacement du curseur (ou de la tortue) sans tracer de ligne avant de relancer une fonction de dessin.

Guide de résolution détaillé

Question 1 : Identification des tracés

Dans le Programme n°1, la longueur augmente de 20 pixels à chaque étape (10, 30, 50, 70). L'augmentation est linéaire. Le dessin correspondant est le Dessin n°2, où l'écart entre les carrés semble constant. Le dessin n°1 montre des carrés emboîtés, ce qui ne correspond pas au déplacement par défaut de Scratch sans changement de point d'origine.

Dans le Programme n°2, la longueur double à chaque étape (10, 20, 40, 80). L'augmentation est exponentielle. Le dessin correspondant est le Dessin n°3.

Question 2 : Calcul des longueurs maximales

• Programme n°1 : La boucle s'exécute 4 fois. Les longueurs tracées sont successivement 10, 30, 50 et 70. Le plus grand carré a donc un côté de 70 pixels.
• Programme n°2 : Les longueurs tracées sont 10, 20, 40 et 80. Le plus grand carré a donc un côté de 80 pixels.

Question 3 : Modification de l'algorithme

Pour obtenir des carrés séparés, il faut insérer une instruction de mouvement entre chaque tracé. L'analyse de l'image montre que le lutin doit avancer d'une distance supérieure à la taille du carré venant d'être tracé pour laisser un espace. La Modification 1 est la bonne : elle fait avancer le lutin de la longueur + 10 pixels avant de doubler la variable pour le tour suivant. Cela garantit un espacement régulier.