Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane et spatiale indispensables pour le programme de Première Spécialité. Il demande une maîtrise des formules de volume (sphère), d'aire (triangle) et une rigueur particulière sur la gestion des unités et des arrondis. L'étude de la Géode permet d'aborder la décomposition d'une surface complexe en éléments géométriques simples (triangles équilatéraux).
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs points sont critiques :
- Distinction entre Rayon et Diamètre : La formule du volume utilise le rayon ($r$), alors que l'énoncé donne le diamètre. L'erreur classique est d'oublier de diviser par 2.
- Propriétés du triangle équilatéral : Le calcul de la hauteur peut se faire via le théorème de Pythagore ou la trigonométrie (sinus de 60°). En Première, on privilégiera souvent les valeurs remarquables : $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.
- Conversion d'unités : Passer des cm² aux m² est une étape charnière. Rappel : $1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2$.
Correction détaillée
1. Volume de la salle de projection
La salle est une demi-sphère. Le diamètre est de 26 m, donc le rayon $r = 13$ m.
Le volume d'une sphère complète est $V = \frac{4}{3} \pi r^3$. Pour une demi-sphère :
$V_{salle} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times \pi imes 13^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 2197 \approx 4\,601,39$.
Le volume arrondi à l'unité est donc 4 601 m³.
2. Étude des triangles extérieurs
a. Calcul de la hauteur : Dans un triangle équilatéral de côté $c = 120$ cm, la hauteur le partage en deux triangles rectangles. D'après Pythagore :
$h^2 + 60^2 = 120^2 \Rightarrow h^2 = 14\,400 - 3\,600 = 10\,800$.
$h = \sqrt{10\,800} \approx 103,92$.
La hauteur arrondie à l'unité est bien 104 cm.
b. Aire d'un triangle :
$A = \frac{base \times hauteur}{2} = \frac{120 \times 104}{2} = 60 \times 104 = 6\,240$.
L'aire est d'environ 6 240 cm².
3. Aire totale de la surface recouverte
Il y a 6 433 triangles. L'aire totale en cm² est :
$6\,433 \times 6\,240 = 40\,141\,920 \text{ cm}^2$.
Pour convertir en m², on divise par 10 000 :
$40\,141\,920 / 10\,000 \approx 4\,014,19$.
L'aire totale arrondie à l'unité est 4 014 m².