Analyse de l'énoncé
Cet exercice, extrait du sujet 0 de 2026, porte sur l'étude des fonctions de premier degré (polynômes de degré 1). Il mobilise des compétences fondamentales en analyse fonctionnelle et en géométrie repérée, essentielles pour aborder sereinement le programme de Première Spécialité, notamment l'étude de la dérivation par la suite. L'objectif est de distinguer une fonction linéaire d'une fonction affine, de manipuler les concepts d'images et d'antécédents, et de réaliser une lecture graphique précise d'un point d'intersection.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser plusieurs points clés :
- La distinction entre fonction linéaire (proportionnalité, passe par l'origine) et fonction affine.
- La résolution d'équations du premier degré pour trouver un antécédent (résoudre f(x) = y).
- L'identification des coefficients : le coefficient directeur (pente) et l'ordonnée à l'origine (valeur de y quand x=0).
- La lecture rigoureuse d'un repère dont les unités en abscisse (0,5) et en ordonnée (2) diffèrent.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Identification de la proportionnalité : Une situation de proportionnalité est modélisée par une fonction linéaire de la forme $g(x) = ax$. Ici, c'est la fonction $g(x) = 6x$ qui représente une telle situation car son expression ne comporte pas de terme constant.
2. Calcul de l'image de 0 par $g$ : On remplace $x$ par 0 dans l'expression de $g$ : $g(0) = 6 \times 0 = 0$. L'image de 0 par $g$ est 0.
3. Détermination de l'antécédent de 0 par $f$ : On cherche $x$ tel que $f(x) = 0$. Soit $4x + 3 = 0$, ce qui donne $4x = -3$, d'où $x = -3/4 = -0,75$. L'antécédent de 0 par $f$ est -0,75.
4. Association des droites aux fonctions :
- La droite $(d_1)$ passe par l'origine du repère (0;0). Elle représente donc la fonction linéaire $g$.
- La droite $(d_2)$ coupe l'axe des ordonnées au point (0;3). Le nombre 3 correspond à l'ordonnée à l'origine de la fonction $f(x) = 4x + 3$. Elle représente donc la fonction $f$.
5. Coordonnées du point d'intersection : Graphiquement, on observe que les deux droites se croisent. En se projetant sur les axes, on lit une abscisse située à mi-chemin entre 1 et 2, soit $x = 1,5$. En projetant sur l'axe des ordonnées, on lit $y = 9$. Les coordonnées du point d'intersection sont $(1,5 ; 9)$. On peut vérifier par le calcul : $g(1,5) = 6 \times 1,5 = 9$ et $f(1,5) = 4 \times 1,5 + 3 = 6 + 3 = 9$.