Introduction aux notions clés du Brevet 2024

Cet exercice issu du sujet du Brevet 2024 (Zone Étrangers) est un condensé des compétences géométriques fondamentales attendues en classe de troisième. Il balaye un spectre large allant de la géométrie plane classique (Théorème de Pythagore) à la trigonométrie, pour finir sur les transformations du plan (Homothétie). L'objectif est d'évaluer la capacité de l'élève à choisir le bon outil mathématique selon la configuration donnée : triangle rectangle, droites parallèles ou agrandissement.

Analyse Méthodique de la Question 1 : La Réciproque de Pythagore

La première question demande de démontrer que le triangle ABE est rectangle. Dans ce contexte, nous connaissons les longueurs des trois côtés : $AE = 4,4$ cm, $EB = 3,3$ cm et $AB = 5,5$ cm. La méthode consiste à utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.

Le raisonnement doit être rigoureux : d'une part, on identifie le plus long côté, ici $[AB]$. On calcule son carré : $5,5^2 = 30,25$. D'autre part, on calcule la somme des carrés des deux autres côtés : $AE^2 + EB^2 = 4,4^2 + 3,3^2 = 19,36 + 10,89 = 30,25$. On constate l'égalité $AB^2 = AE^2 + EB^2$. Selon la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABE est rectangle en E.

Analyse Méthodique de la Question 2 : Utiliser la Trigonométrie

Une fois le triangle ABE prouvé rectangle en E, nous pouvons utiliser les rapports trigonométriques pour calculer l'angle $\widehat{ABE}$. Vous avez le choix entre le sinus, le cosinus ou la tangente. Par exemple, en utilisant le cosinus : $\cos(\widehat{ABE}) = \frac{EB}{AB} = \frac{3,3}{5,5} = 0,6$. En utilisant la touche 'Arccos' ou '2nd Cos' de la calculatrice, on obtient une mesure d'environ 53,13°. L'énoncé demandant un arrondi au degré près, la réponse attendue est 53°.

Analyse Méthodique de la Question 3 : Thalès et les rapports de longueurs

Pour calculer FD, il faut observer la configuration de l'exercice. Les points E, A, F et E, B, D sont alignés, et les droites (FD) et (AB) sont parallèles. C'est la configuration typique du théorème de Thalès (ou d'un agrandissement). Le rapport de l'agrandissement est donné par le quotient des longueurs des côtés correspondants.

On sait que $ED = EB + BD = 3,3 + 6,6 = 9,9$ cm. Le rapport de Thalès nous donne : $\frac{EB}{ED} = \frac{AB}{FD}$. En remplaçant par les valeurs, on a $\frac{3,3}{9,9} = \frac{5,5}{FD}$. On remarque que 9,9 est le triple de 3,3. Par conséquent, $FD$ sera le triple de $AB$, soit $FD = 5,5 \times 3 = 16,5$ cm.

Analyse Méthodique de la Question 4 : Comprendre l'Homothétie

La dernière question porte sur les transformations, précisément l'homothétie. Une homothétie de centre E qui transforme EAB en EFD signifie que le triangle EFD est une image de EAB par un agrandissement ou une réduction de centre E. Pour trouver le rapport $k$, on divise une longueur de l'image par la longueur correspondante de l'objet initial. Ici, $k = \frac{ED}{EB} = \frac{9,9}{3,3} = 3$. Le rapport de l'homothétie est donc 3.

Les Pièges à Éviter

1. **L'oubli de la rédaction** : Ne donnez jamais un résultat brut. Nommez toujours le théorème utilisé (Réciproque de Pythagore, Thalès).

2. **Le calcul de ED** : Beaucoup d'élèves utilisent BD au lieu de ED dans leurs rapports. Rappelez-vous que les rapports partent toujours du sommet commun (le centre de l'homothétie), ici le point E.

3. **Unités et arrondis** : Vérifiez bien si l'on demande un arrondi au dixième ou à l'unité. Un mauvais arrondi peut coûter des points précieux.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, structurez vos réponses : 'Je sais que...', 'Or d'après le théorème de...', 'Donc...'. Pour la question sur l'homothétie, même si aucune justification n'est attendue, avoir fait le calcul du rapport au brouillon permet d'éviter les erreurs d'inattention. En trigonométrie, vérifiez que votre calculatrice est bien en mode 'Degrés' et non 'Radians'.