Introduction aux fondamentaux du Brevet 2024

Le premier exercice du sujet de mathématiques du Brevet des Collèges (DNB) 2024 pour la zone Étrangers se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Ce format est particulièrement prisé car il permet de balayer un large spectre du programme de 3ème : les puissances, les vitesses moyennes, les probabilités, les statistiques et le calcul fractionnaire. L'avantage du QCM est qu'il n'exige pas de justification, mais il nécessite une rigueur absolue dans les calculs intermédiaires pour ne pas tomber dans les distracteurs (les mauvaises réponses proposées).

1. Maîtriser l'écriture scientifique et les puissances

La première question porte sur l'écriture scientifique de $0,193 \times 10^{-100}$. Pour rappel, une écriture scientifique est de la forme $a \times 10^n$, où $1 \le a < 10$. Ici, le nombre $0,193$ n'est pas sous la bonne forme car il est inférieur à 1. Nous devons déplacer la virgule d'un rang vers la droite, ce qui revient à multiplier par 10 : $0,193 = 1,93 \times 10^{-1}$. En injectant cela dans l'expression initiale, on obtient $(1,93 \times 10^{-1}) \times 10^{-100}$. Selon les règles sur les puissances de 10 ($10^a \times 10^b = 10^{a+b}$), on additionne les exposants : $-1 + (-100) = -101$. La réponse correcte est donc $1,93 \times 10^{-101}$. Attention au piège : beaucoup d'élèves confondent le sens de déplacement de la virgule et soustraient au lieu d'ajouter ou inversement.

2. Calcul de vitesse moyenne et conversion de temps

La question 2 nous demande de calculer une vitesse moyenne. Lili parcourt $480$ km en $5$ h $42$ min. La formule est $v = \frac{d}{t}$. L'erreur classique est d'utiliser $5,42$ dans le calcul. Or, les minutes ne sont pas des centièmes d'heure ! Il faut convertir $42$ minutes en heures décimales en effectuant le calcul $42 \div 60 = 0,7$. Ainsi, le temps total est de $5,7$ heures. Le calcul devient : $v = \frac{480}{5,7} \approx 84,210...$. En arrondissant au dixième, on obtient $84,2$ km/h. Ce type de question souligne l'importance cruciale de la conversion sexagésimale avant toute opération de division.

3. Probabilités : Analyse fréquentielle d'une roue

Dans la troisième question, nous avons une roue de loterie divisée en 15 secteurs égaux. Actuellement, si l'on compte les nombres inscrits sur la figure LaTeX, on dénombre huit fois le chiffre '2' et sept fois le chiffre '1' (en comptant le secteur vide). On veut que la probabilité d'obtenir un '2' soit égale à $\frac{3}{5}$. Pour comparer cela avec notre roue de 15 secteurs, il faut mettre la fraction sur le même dénominateur : $\frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15}$. Pour que la probabilité soit de $9/15$, il faut donc qu'il y ait exactement 9 secteurs contenant le chiffre '2'. Comme nous en avons déjà 8, il suffit d'écrire le nombre 2 dans le secteur effacé. La réponse est donc : 'Oui, en écrivant le nombre 2'.

4. Statistiques : Médiane d'une série de données

La question 4 propose la liste suivante : $5, 1, 3, 10, 17, 11, 10$. On cherche ce que représente le nombre 5. La première étape en statistiques est toujours de ranger la liste par ordre croissant : $1, 3, 5, 10, 10, 11, 17$. L'effectif total est de 7 (un nombre impair). La médiane est la valeur qui se situe au centre de la série. Pour 7 valeurs, c'est la 4ème position : $1, 3, 5, \mathbf{10}, 10, 11, 17$. La médiane est donc 10. Calculons la moyenne : $(1+3+5+10+10+11+17) / 7 = 57 / 7 \approx 8,14$. L'étendue est $17 - 1 = 16$. On s'aperçoit que si l'on regarde la liste triée, 5 est la 3ème valeur... mais attendez ! Reprenons le tri : $1, 3, 5, 10, 10, 11, 17$. La valeur centrale (4ème) est 10. Le nombre 5 ne semble être ni la médiane, ni la moyenne, ni l'étendue. Cependant, relisons bien la liste : si la question demande la place du 5, et que les options sont limitées, vérifiez si vous n'avez pas fait d'erreur de lecture. En réalité, le nombre 5 est bien présent, mais il n'est aucune des caractéristiques de position centrales classiques ici. Note pédagogique : Un élève doit savoir éliminer les réponses fausses (Moyenne $\neq 5$, Etendue $\neq 5$, Médiane $\neq 5$) pour conclure que c'est 'Rien de particulier'.

5. Fractions et partage de reste

Enfin, la question 5 traite des fractions. Léa paye $\frac{1}{5}$ du prix. Le reste à payer est donc de $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ du prix total. Ce reste est divisé en trois paiements égaux. Mathématiquement, cela revient à calculer $\frac{4}{5} \div 3$, ce qui est équivalent à $\frac{4}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{4 \times 1}{5 \times 3} = \frac{4}{15}$. Chaque paiement représente donc $\frac{4}{15}$ du prix initial du vélo électrique. Conseil : Toujours bien définir quelle est la 'fraction du tout' et quelle est la 'fraction du reste'.

Conseils de rédaction pour le jour J

Même si aucune justification n'est demandée dans un QCM, gardez votre brouillon propre. Notez vos calculs de conversion (pour la vitesse) et vos listes triées (pour les stats). Une erreur de lecture est vite arrivée. Sur votre copie, recopiez simplement le numéro et la lettre ou la valeur choisie comme demandé : 'Question 1 : $1,93 \times 10^{-101}$'. Cela permet au correcteur de vous lire rapidement et d'apprécier la clarté de votre rendu.