Introduction aux notions clés de l'exercice

Cet exercice 5 du sujet de Brevet 2024 des Antilles porte sur une thématique très fréquente en mathématiques de 3ème : la géométrie appliquée. Il mobilise trois compétences majeures du programme : le calcul d'aires planes (le carré et le triangle), la maîtrise des volumes (le prisme droit) et la gestion des grandeurs composées (le débit). L'enjeu ici est de passer progressivement de la 2D à la 3D tout en manipulant des conversions d'unités indispensables au lycée.

Analyse méthodologique : Question par question

1. Étude de l'octogone (2D)
La première étape consiste à comprendre comment est construit l'octogone EFGHIJKL. Il est issu d'un carré de côté 5 m dont on a retiré les quatre coins.

Question 1.a : Longueur AE.
Le côté du carré [AD] mesure 5 m. On sait que EF = 2,2 m. Comme les triangles retirés sont des triangles rectangles isocèles identiques, on en déduit que AE = LD. Par symétrie, la longueur du côté AD est la somme AE + EF + FD. Ici FD est égal à AE. Donc $5 = 2 \times AE + 2,2$. En résolvant l'équation, on trouve $2 \times AE = 2,8$, soit $AE = 1,4$ m.

Question 1.b : Aire du triangle AEL.
Le triangle AEL est rectangle isocèle en A. Sa base et sa hauteur sont donc égales à 1,4 m. La formule de l'aire est $\frac{Base \times Hauteur}{2}$, soit $\frac{1,4 \times 1,4}{2} = \frac{1,96}{2} = 0,98$ m².

Question 1.c : Aire de l'octogone.
Pour trouver l'aire de la zone grisée, la méthode la plus rapide est la soustraction. On prend l'aire totale du carré ABCD ($5 \times 5 = 25$ m²) et on soustrait l'aire des 4 triangles identiques situés aux sommets. $25 - (4 \times 0,98) = 25 - 3,92 = 21,08$ m². Le résultat est cohérent avec l'énoncé.

Passage au volume et grandeurs composées (3D)

2. Remplissage de la piscine
Ici, l'octogone devient la base d'un prisme droit (la piscine).

Question 2.a : Volume d'eau à 3/4 de hauteur.
La piscine a une hauteur totale de 1,50 m, mais on ne la remplit qu'aux trois quarts. La hauteur d'eau est donc $1,50 \times \frac{3}{4} = 1,125$ m. Le volume d'eau $V$ se calcule par la formule : $V = Aire_{Base} \times Hauteur_{eau}$. On a donc $V = 21,08 \times 1,125 = 23,715$ m³. On peut ainsi conclure que le volume est effectivement environ égal à $24$ m³.

Question 2.b : Calcul de la durée de remplissage.
C'est ici que les erreurs d'unités surviennent souvent. Le volume est de $24$ m³, ce qui correspond à $24 \times 1000 = 24 000$ Litres (puisque 1 m³ = 1000 L). Le débit du robinet est de 12 L/min.
La durée en minutes est $T = \frac{Volume}{Débit} = \frac{24 000}{12} = 2000$ minutes.
Pour convertir 2000 minutes en heures et minutes, on effectue la division euclidienne par 60 : $2000 = 33 \times 60 + 20$. Le remplissage prendra donc 33 heures et 20 minutes.

Les pièges à éviter lors de l'examen

Le premier piège est l'oubli de la fraction. Beaucoup d'élèves calculent le volume total de la piscine au lieu du volume d'eau (les 3/4). Lisez toujours attentivement les consignes de remplissage.
Le deuxième piège concerne la conversion de la durée. Il est fréquent de voir l'erreur '33,33 heures donc 33h33min'. Rappelez-vous que le temps n'est pas en base 10 mais en base 60. Utilisez la touche 'Degrés/Minutes/Secondes' de votre calculatrice ou la division euclidienne pour être certain du résultat.
Enfin, faites attention à la rédaction : chaque calcul doit être justifié par une formule littérale avant l'application numérique.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Pour obtenir le maximum de points au Brevet, structurez votre copie :
1. Annoncez ce que vous calculez (ex: 'Calculons l'aire du triangle AEL').
2. Citez la formule utilisée.
3. Effectuez l'application numérique avec les unités.
4. Soulignez votre phrase de conclusion.
Dans la question 2.b, l'utilisation du rappel fourni dans l'énoncé (1 m³ = 1000 L) est impérative pour montrer au correcteur que vous exploitez toutes les données du texte.

Pourquoi cet exercice est-il important ?

Il prépare directement aux chapitres de Seconde sur les fonctions et la modélisation. Comprendre comment une variation de longueur (2D) impacte un volume (3D) est une compétence fondamentale en sciences. De plus, la gestion des débits est un classique des problèmes de proportionnalité que l'on retrouve dans la vie quotidienne.