Introduction aux Fonctions et au Tableur au Brevet

L'exercice 2 du sujet de mathématiques Amérique du Sud 2024 est un modèle du genre pour les élèves de 3ème. Il combine quatre piliers fondamentaux du programme : les fonctions, l'utilisation du tableur, le calcul littéral et la résolution d'équations. Comprendre cet exercice, c'est s'assurer une maîtrise solide pour l'épreuve nationale du Brevet des collèges. Nous allons explorer comment passer d'une expression algébrique à une lecture de tableau, tout en validant des compétences en manipulation de formules numériques.

Analyse pas à pas de l'exercice

1. Maîtriser les images et les antécédents

La première question demande de montrer que l'image de 5 par la fonction $f$ est 14. Pour ce faire, il faut substituer la variable $x$ par la valeur 5 dans l'expression $f(x) = x^2 - x - 6$. Le calcul devient alors : $f(5) = 5^2 - 5 - 6 = 25 - 5 - 6 = 14$. Cette étape est cruciale car elle vérifie votre capacité à respecter les priorités opératoires, notamment le carré avant la soustraction. Pour l'antécédent de 4 par la fonction $g(x) = -2x$, on cherche $x$ tel que $-2x = 4$. En divisant par -2 de chaque côté, on trouve $x = -2$.

2. Interprétation des données du tableur

Le tableur est un outil puissant souvent présent au Brevet. Dans la question 1.c, on nous demande de citer deux antécédents de 14 par la fonction $f$. En observant la ligne 2 (celle de $f(x)$), on repère la valeur 14 dans deux colonnes : la colonne B et une valeur calculée précédemment. Dans le tableau fourni, pour $x = -4$, $f(x) = 14$. On a donc déjà deux antécédents visibles : -4 (lu dans le tableau) et 5 (calculé à la question 1.a).

3. Logique de programmation du tableur

La question 1.d porte sur la saisie de formule. C'est un classique. Dans la cellule B2, on veut calculer $f(x)$ pour la valeur de $x$ située en B1. La formule doit donc être : =B1*B1-B1-6 ou =B1^2-B1-6. N'oubliez jamais le signe '=' qui indique au logiciel qu'il s'agit d'un calcul et non d'un texte. L'utilisation des références de cellules (B1) permet l'étirement de la formule vers la droite (jusqu'à H2), ce qui automatise les calculs pour les autres valeurs de $x$.

4. Comparaison de fonctions et résolution graphique

Existe-t-il un nombre ayant la même image par $f$ et $g$ ? En examinant les lignes 2 et 3 du tableau, on cherche une colonne où les valeurs de $f(x)$ et $g(x)$ sont identiques. Dans la colonne C, pour $x = -3$, on constate que $f(-3) = 6$ et $g(-3) = 6$. Le nombre cherché est donc -3. C'est une introduction concrète à la résolution de l'équation $f(x) = g(x)$.

5. Développement et équations produit-nul

La partie 2 de l'exercice bascule vers le calcul littéral pur. Montrer que $f(x) = (x + 2)(x - 3)$ demande de développer l'expression factorisée. En utilisant la double distributivité : $(x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$. On retrouve bien l'expression initiale de $f(x)$. Enfin, pour résoudre $f(x) = 0$, on utilise la forme factorisée : $(x + 2)(x - 3) = 0$. Selon la propriété du produit nul, un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. On a donc $x + 2 = 0$ ou $x - 3 = 0$, ce qui donne les solutions $x = -2$ et $x = 3$.

Les pièges classiques à éviter

Attention aux erreurs de signes ! Lors du calcul de $f(-4)$, beaucoup d'élèves écrivent $-4^2$ au lieu de $(-4)^2$. Rappelez-vous que le carré d'un nombre négatif est toujours positif : $(-4)^2 = 16$. Dans le tableur, ne confondez pas la ligne des antécédents (ligne 1) et celle des images (lignes 2 et 3). Une confusion ici fausserait toute l'analyse du tableau. Enfin, dans l'équation produit nul, n'oubliez pas de traiter les deux facteurs ; il y a presque toujours deux solutions distinctes.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Pour l'épreuve du Brevet, la clarté est votre meilleure alliée. Pour les questions sur le tableur, précisez explicitement : "En regardant la ligne 1 et la ligne 2, on observe que...". Pour les calculs d'images, détaillez chaque étape comme nous l'avons fait ci-dessus. Pour l'équation produit nul, citez impérativement la propriété : "Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul". Cette rigueur rassure le correcteur sur votre compréhension des concepts mathématiques profonds.

Conclusion : Pourquoi cet exercice est un incontournable

Cet exercice de l'Amérique du Sud 2024 récapitule l'essentiel de l'analyse et de l'algèbre de 3ème. Il fait le pont entre le numérique (tableur) et le théorique (équations). En maîtrisant ces enchaînements, vous vous préparez non seulement à réussir votre Brevet avec brio, mais vous posez également les bases fondamentales pour la classe de Seconde, où les fonctions deviendront l'objet d'étude principal en mathématiques.