Analyse de l'énoncé
Cet exercice, extrait du sujet zéro 2026, propose l'étude d'un programme de calcul classique. Bien que la structure semble simple, elle mobilise des compétences fondamentales du programme de Première Spécialité Mathématiques : la modélisation algébrique et la manipulation des expressions du second degré. L'objectif est de traduire un algorithme séquentiel en une fonction de type f(x), puis de reconnaître une forme factorisée spécifique (identité remarquable).
Points de vigilance : Notions de cours requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs points de vigilance sont à noter :
- La priorité des opérations : Lors du passage à l'expression littérale, l'étape « élever le résultat au carré » s'applique à l'ensemble du produit précédent. Il ne faut pas oublier les parenthèses : (2x)².
- Le carré d'un produit : Rappelons que (ab)² = a²b². Ainsi, (2x)² devient 4x².
- Les identités remarquables : La reconnaissance de la forme a² - b² est cruciale pour la question finale. Ici, 4x² - 9 correspond à (2x)² - 3².
Correction détaillée et guide de résolution
1. Application avec la valeur 4 :
Étape 1 : Choisir le nombre 4.
Étape 2 : Multiplier par 2 : 4 × 2 = 8.
Étape 3 : Élever au carré : 8² = 64.
Étape 4 : Retrancher 9 : 64 - 9 = 55.
Le résultat affiché est bien 55.
2. Expression en fonction de x :
a) En suivant les étapes :
- Choisir x.
- Multiplier par 2 : 2x.
- Élever au carré : (2x)².
- Retrancher 9 : (2x)² - 9.
Le résultat final est donc 4x² - 9.
3. Identification de l'expression correspondante :
L'énoncé propose quatre expressions. Analysons l'expression C : (2x - 3)(2x + 3).
Il s'agit d'une identité remarquable de la forme (a - b)(a + b) = a² - b².
En posant a = 2x et b = 3, nous obtenons : (2x)² - 3² = 4x² - 9.
L'expression C est donc celle qui correspond au programme de calcul.
Pourquoi travailler cet exercice en Première ?
Même si cet exercice rappelle des notions de collège, il constitue la base de l'étude des fonctions polynômes du second degré. En Première, la maîtrise de la forme développée, factorisée et canonique est indispensable pour l'étude du signe et des variations. Savoir passer d'un énoncé verbal à une forme factorisée est une compétence de calcul formel attendue aux épreuves du baccalauréat.