Introduction aux notions clés du Brevet 2024

Cet exercice 4 du Brevet de Mathématiques 2024 (Métropole) se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format est extrêmement fréquent lors de l'examen national car il permet d'évaluer rapidement un large spectre de compétences du programme de troisième. Dans ce sujet, les thématiques abordées sont variées : le calcul d'images par une fonction affine, les puissances de nombres relatifs, la géométrie de transformation (translation), la lecture graphique d'antécédents, les statistiques (médiane) et la trigonométrie dans le triangle rectangle. L'avantage du QCM est qu'aucune justification n'est attendue, mais la rigueur au brouillon est indispensable pour éviter les pièges classiques tendus par les concepteurs du sujet.

Analyse détaillée de la Question 1 : Image par une fonction

La première question porte sur la fonction $f$ définie par l'expression algébrique $f(x) = 3x - 2$. On nous demande de calculer l'image de $-4$. En mathématiques, calculer l'image d'un nombre consiste à remplacer la variable $x$ par ce nombre dans l'expression de la fonction. Ici, nous devons donc effectuer le calcul suivant : $f(-4) = 3 \times (-4) - 2$. La règle des signes est ici cruciale : le produit d'un nombre positif par un nombre négatif est négatif, donc $3 \times (-4) = -12$. Ensuite, nous soustrayons 2 : $-12 - 2 = -14$. La réponse exacte est donc la Réponse A. Le piège habituel serait de se tromper dans la gestion des nombres relatifs, par exemple en trouvant $-10$ ou $-3$ par une mauvaise application des priorités opératoires ou des signes.

Analyse de la Question 2 : Les puissances et les signes

La question 2 porte sur le calcul de $(-5)^3$. Il est fondamental de se rappeler la définition d'une puissance : $a^n$ est le produit de $a$ par lui-même $n$ fois. Ainsi, $(-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5)$. Analysons d'abord le signe : une puissance d'un nombre négatif est négative si l'exposant est impair (ce qui est le cas ici avec 3) et positive si l'exposant est pair. Pour le calcul numérique : $5 \times 5 = 25$, puis $25 \times 5 = 125$. Le résultat final est donc $-125$. La réponse correcte est la Réponse A. Les élèves pressés pourraient choisir $-15$ en multipliant la base par l'exposant ($5 \times 3$), une erreur classique qu'il faut absolument bannir le jour de l'épreuve.

Analyse de la Question 3 : Translation et repérage

La géométrie est représentée par une translation. On nous demande l'image du point J par la translation qui transforme C en A. Pour visualiser cela, il faut imaginer le 'glissement' du point C vers le point A. Dans le quadrillage fourni, pour aller de C vers A, on se déplace d'une unité vers la gauche et d'une unité vers le bas. Pour trouver l'image de J, nous devons appliquer exactement le même mouvement à partir de J. En partant de J (coordonnées graphiques), si nous nous déplaçons d'une unité vers la gauche et d'une unité vers le bas, nous arrivons sur le point D. La réponse exacte est la Réponse C. La confusion fréquente ici est de faire le chemin inverse (de A vers C) ou de se tromper de direction sur l'un des axes.

Analyse de la Question 4 : Lecture graphique d'un antécédent

Cette question demande de trouver l'antécédent de 3 par la fonction $f$ représentée par sa courbe $\mathcal{C}_f$. Contrairement à la recherche d'une image, chercher un antécédent consiste à partir de l'axe des ordonnées (l'axe vertical). On repère la valeur 3 sur cet axe, on se déplace horizontalement jusqu'à rencontrer la droite représentative de la fonction, puis on redescend verticalement vers l'axe des abscisses (l'axe horizontal) pour lire la valeur correspondante. Dans ce cas précis, pour $y = 3$, on constate que le point de la droite se situe exactement sur l'axe des ordonnées, ce qui signifie que l'abscisse correspondante est 0. Ainsi, l'antécédent de 3 est 0. C'est la Réponse C. L'erreur classique est de confondre les axes et de chercher l'image de 3 au lieu de son antécédent.

Analyse de la Question 5 : Calcul d'une médiane statistique

Les statistiques sont un morceau de choix au Brevet. Ici, on étudie une série de sept tailles : $1,46 ; 1,65 ; 1,6 ; 1,72 ; 1,7 ; 1,67 ; 1,75$. La règle d'or pour trouver une médiane est de commencer par ranger la série dans l'ordre croissant. Sans cela, le résultat sera faux. Rangeons les valeurs : $1,46 ; 1,6 ; 1,65 ; 1,67 ; 1,7 ; 1,72 ; 1,75$. L'effectif total est $N = 7$. Puisque 7 est un nombre impair, la médiane est la valeur située exactement au milieu, soit la 4ème valeur de la série ordonnée. La 4ème valeur est $1,67$. La réponse est donc la Réponse B. Si l'élève ne range pas les valeurs, il risque de prendre la valeur centrale de la liste brute, ce qui est une erreur fatale.

Analyse de la Question 6 : Trigonométrie et Cosinus

La dernière question fait appel à la trigonométrie dans un triangle rectangle. On cherche $\cos \alpha$, où $\alpha$ est l'angle $\widehat{ABC}$. La formule du cosinus est : $\text{Cosinus} = \frac{\text{Côté Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$. Dans le triangle ABC rectangle en A, l'hypoténuse est le côté le plus long, opposé à l'angle droit, soit $BC = 5$. Pour l'angle $\alpha$ situé au sommet B, le côté adjacent est le côté [AB], qui mesure 4. On a donc $\cos \alpha = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{5}$. En convertissant cette fraction en nombre décimal, on obtient $4 \div 5 = 0,8$. La réponse exacte est la Réponse A. Les élèves confondent souvent le cosinus avec le sinus (opposé/hypoténuse) ou la tangente (opposé/adjacent).

Conseils de rédaction et pièges à éviter

Pour réussir un QCM au Brevet des collèges, il ne faut pas se précipiter. Même si la justification n'est pas demandée sur la copie finale, vous devez impérativement réaliser les calculs et les schémas sur votre brouillon. Pour les fonctions, vérifiez toujours si l'on vous demande l'image (calcul direct) ou l'antécédent (équation ou lecture inverse). Pour les statistiques, le piège du rangement par ordre croissant est celui qui fait perdre le plus de points chaque année. Enfin, en trigonométrie, n'oubliez pas le fameux moyen mnémotechnique CAHSOHTOA pour ne jamais confondre cosinus, sinus et tangente. Une fois votre choix fait, reportez soigneusement le numéro de la question et la lettre choisie sur votre copie. Une rature sur un QCM peut parfois porter à confusion pour le correcteur, soyez donc propre et précis.