Introduction aux notions clés du Brevet 2024

Cet exercice du Brevet 2024 (Zone Étrangers) est un modèle d'interdisciplinarité mathématique. Il balaye des compétences essentielles du programme de 3ème : l'algorithmique, le calcul littéral, les fonctions et la résolution d'équations. L'enjeu ici est de savoir passer d'un programme de calcul à une expression algébrique, puis d'interpréter cette expression sous forme graphique et fonctionnelle. Comprendre que $g(x) = (x-2)(x+1)$ est la clé de voûte de tout l'exercice.

Analyse détaillée de la Partie A : Programme de calcul et Algorithmique

La première partie demande une manipulation numérique rigoureuse. Lorsqu'on choisit $5$ comme nombre de départ :
1. On soustrait $2$, ce qui donne $5 - 2 = 3$.
2. On ajoute $1$, ce qui donne $5 + 1 = 6$.
3. On multiplie les deux résultats : $3 \times 6 = 18$.
La démonstration est ainsi faite. Pour la valeur fractionnaire $-\frac{3}{2}$, le raisonnement est identique mais demande une aisance avec les nombres relatifs et les fractions. On obtient $(-\frac{3}{2} - 2) \times (-\frac{3}{2} + 1) = (-\frac{7}{2}) \times (-\frac{1}{2}) = \frac{7}{4}$, soit $1,75$.

Concernant le script Scratch, il s'agit de traduire les étapes visuelles du schéma en blocs logiques. La ligne 3 correspond à la soustraction : 'mettre a à réponse - 2'. La ligne 4 à l'addition : 'mettre b à réponse + 1'. Enfin, la ligne 5 affiche le produit : 'dire a * b'. C'est une question classique qui rapporte des points facilement si l'on suit l'ordre des opérations.

Analyse de la Partie B : Fonctions et Calcul Littéral

La transition vers la fonction $g(x)$ est l'étape la plus théorique. On nous donne $g(x) = x^{2}-x-2$. La première question demande de prouver une égalité par le développement. En utilisant la double distributivité sur $(x-2)(x+1)$, on obtient :
$x \times x + x \times 1 - 2 \times x - 2 \times 1 = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2$.
L'égalité est vérifiée. Cette forme factorisée est cruciale pour la suite.

La résolution de l'équation produit nul $(x-2)(x+1)=0$ est une compétence phare de 3ème. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On résout donc séparément $x - 2 = 0$ (soit $x = 2$) et $x + 1 = 0$ (soit $x = -1$). Les antécédents de $0$ par la fonction $g$ sont donc $2$ et $-1$. Graphiquement, cela correspond aux points où la courbe coupe l'axe des abscisses.

Choix du graphique et interprétation finale

Pour choisir le bon graphique, il faut observer les caractéristiques de $g$.
1. $g$ est une fonction du second degré ($x^2$), sa représentation est une parabole. Cela élimine d'emblée le Graphique 1 (droite décroissante, fonction affine) et le Graphique 2 (droite croissante, fonction affine).
2. Le Graphique 3 est le seul présentant une courbe en forme de 'U'. On vérifie les points clés : la courbe coupe l'axe des $x$ en $-1$ et $2$, ce qui confirme nos calculs précédents.

Les pièges à éviter lors de l'examen

L'erreur la plus fréquente réside dans la gestion des signes lors du calcul avec des nombres négatifs, notamment dans la question A.2. Un autre piège est de vouloir développer $g(x)$ pour trouver les antécédents, alors que la forme factorisée est spécifiquement donnée pour utiliser la propriété du produit nul. Enfin, pour le choix du graphique, ne vous contentez pas d'une intuition visuelle : vérifiez toujours au moins deux points (par exemple $g(0) = -2$ et $g(1) = -2$).

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Sur votre copie, détaillez chaque étape de calcul. Pour la question de justification (A.1), ne donnez pas seulement le résultat final, écrivez les calculs intermédiaires. Pour l'équation produit nul, citez explicitement la propriété : 'Un produit de facteurs est nul si et seulement si...'. Une rédaction soignée montre au correcteur que vous maîtrisez la logique mathématique au-delà du simple calcul mécanique.