Analyse de l'énoncé : Probabilités et Organisation d'un Mariage Parfait

Cet exercice, issu du Brevet 2024 des Antilles Martinique, est un excellent exemple de l'application concrète des mathématiques. Il se divise clairement en deux parties. La première aborde les notions fondamentales de Probabilités, un thème récurrent au DNB. La seconde, et la plus technique, porte sur l'Arithmétique, et plus précisément sur la recherche du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) à travers la décomposition en facteurs premiers.

Partie 1 : Maîtriser les Probabilités de Base

La question 1.a est un simple calcul additif : déterminer le nombre total de dragées (630 + 810). Une fois ce total établi, la probabilité d'obtenir une dragée blanche (1.b) s'obtient par la formule classique : $P = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre total de cas possibles}}$. Il est crucial de simplifier la fraction obtenue pour une réponse complète et rigoureuse.

Partie 2 : L'Art de la Répartition (PGCD)

La contrainte de la question 2 est la clé : toutes les dragées doivent être utilisées, et chaque ballotin doit avoir la même composition. Cela signifie que le nombre de ballotins doit être un diviseur commun aux deux quantités de dragées (630 et 810).

• Vérification (2.a) : Pour savoir si 21 ballotins sont possibles, il suffit de vérifier si 630 est divisible par 21 et si 810 est divisible par 21. On doit obtenir un nombre entier de dragées roses et un nombre entier de dragées blanches par ballotin.
• Le Défi du Maximum (2.b et 2.c) : Trouver le nombre maximum de ballotins revient à chercher le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de 630 et 810. La méthode la plus efficace, demandée explicitement en 2.b, est la décomposition en produits de facteurs premiers.

Une fois les décompositions obtenues, on calcule le PGCD en prenant les facteurs communs affectés du plus petit exposant. Le résultat donne le nombre maximal de ballotins. Enfin, on divise le stock initial par ce PGCD pour déterminer la composition exacte (nombre de roses et de blanches) de chaque ballotin. Cet exercice permet ainsi de réviser de manière complète deux piliers du programme de 3ème : Probabilités et Arithmétique.