Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, mobilise des compétences fondamentales de géométrie plane nécessaires en Première Spécialité. Il demande de passer d'une vision en trois dimensions (la pyramide du faré) à une étude plane (le triangle ACH et le pan de toit ABC). L'objectif est de valider la nature d'un triangle et d'utiliser les propriétés de proportionnalité pour calculer des longueurs de charpente.
Points de vigilance et notions requises
- Réciproque du théorème de Pythagore : Pour démontrer qu'un triangle est rectangle, on compare le carré du plus long côté à la somme des carrés des deux autres côtés.
- Théorème de Thalès : La condition de parallélisme est explicite ici, permettant d'établir des rapports de proportionnalité dans le triangle ABC.
- Attention au contexte : L'exercice demande la longueur totale pour les quatre pans de la toiture, une étape finale souvent oubliée.
Correction détaillée
1. Nature du triangle ACH :
On calcule les carrés des longueurs :
AC² = 3,6² = 12,96
AH² + CH² = 2,88² + 2,16² = 8,2944 + 4,6656 = 12,96
On constate que AC² = AH² + CH². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ACH est rectangle en H.
2. a. Calcul de DE :
Le point D appartient au segment [AC] et E au segment [BC]. Les droites (DE) et (AB) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : CD/CA = CE/CB = DE/AB.
Comme AG = GD = DC et que AC = 3,60 m, nous avons CD = 1/3 × AC. Le rapport de réduction est donc de 1/3.
DE = (1/3) × AB = 4,08 / 3 = 1,36 m.
2. b. Longueur totale des traverses :
Pour un pan, la longueur est : AB + GF + DE = 4,08 + 2,72 + 1,36 = 8,16 m.
La toiture possède 4 pans identiques, donc la longueur totale est : 8,16 × 4 = 32,64 m.