Analyse de l'énoncé et Rappels de Cours

Cet exercice du Brevet 2024 (Polynésie) est un excellent exemple des notions de probabilités testées en classe de Troisième. Il combine l'étude d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes (tirages successifs) avec la nécessité d'organiser les issues à l'aide d'un tableau à double entrée, un outil fondamental pour dénombrer l'univers des possibles. Le principe utilisé est celui de l'équiprobabilité : chaque boule étant indiscernable au toucher, chaque issue élémentaire a la même chance de se réaliser.

Points clés de la résolution

• Question 1 (Tableau) : Pour trouver l'univers des possibles, on multiplie les issues de la première boîte ({2, 3, 5}) par celles de la deuxième boîte ({3, 5}). Il y a $3 \times 2 = 6$ issues au total. Les produits possibles sont : {6, 9, 10, 15, 15, 25}.
• Question 2 (Probabilité) : La probabilité d'obtenir 15 est calculée en trouvant le nombre d'issues favorables (deux résultats donnent 15 : $5 \times 3$ et $3 \times 5$). La probabilité est donc $P(15) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
• Question 3 (Vérification d'Affirmation) : Il faut identifier tous les multiples de 3 dans l'univers des possibles. Ces produits sont {6, 9, 15, 15}. Soit 4 issues favorables. La probabilité est $P(\text{multiple de } 3) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. L'affirmation est donc vraie.
• Question 4 (Arithmétique et Décomposition) : Cette dernière question fait appel à la notion de facteurs et de diviseurs. Le produit $P$ est le résultat de $N_1 \times N_2 \times N_3$. $N_1 \times N_2$ fait partie de l'ensemble des 6 produits trouvés précédemment. En analysant les résultats d'Anissa (165) et de Bilel (78), on cherche quel produit $N_1 \times N_2$ est un diviseur exact. Pour $165$, seul $15$ fonctionne ($165 \div 15 = 11$). Pour $78$, seul $6$ fonctionne ($78 \div 6 = 13$). Les boules de la troisième boîte portent donc les numéros 11 et 13.

Méthodologie DNB

La réussite de cet exercice repose sur la rigueur dans le dénombrement des issues. En probabilités, ne pas négliger l'utilisation du tableau à double entrée pour structurer l'expérience est la clé pour éviter les erreurs de comptage.