Analyse de l'énoncé et préparation à la résolution

Cet exercice de géométrie du DNB 2024 (Asie) est un excellent exemple de l'imbrication des notions de 3ème. Il combine le Théorème de Pythagore, la Trigonométrie (cosinus) et le calcul d'aires, notamment celles des secteurs circulaires. La figure proposée, définie par un triangle AGB et un arc de cercle centré en G, exige une lecture attentive des propriétés fournies (perpendicularité, alignement des points A, C, B, et longueurs données).

Points clés : Démontrer et Calculer

La première étape consiste à utiliser les propriétés du triangle GCB. Sachant que les droites (AB) et (CG) sont perpendiculaires, le triangle GCB est rectangle en C. Les longueurs $CG = 10$ cm et $BG = 20$ cm permettent deux calculs fondamentaux :

• Théorème de Pythagore (Question 1) : Nous trouvons $BC = \sqrt{BG^2 - CG^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} \approx 17,3$ cm.
• Trigonométrie (Question 3a) : Pour déterminer l'angle $\widehat{CGB}$, nous utilisons le cosinus : $\cos(\widehat{CGB}) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{GC}{BG} = \frac{10}{20} = 0,5$. Ceci démontre que $\widehat{CGB}$ mesure exactement 60°.

Puisque C est le milieu de [AB] et que (GC) est perpendiculaire à (AB), le triangle BAG est isocèle en G. L'angle total au centre, $\widehat{AGB}$, est donc $2 \times 60^\circ = 120^\circ$. Ce résultat est crucial pour les questions suivantes.

Aire et Assemblage des pièces

La question 2, demandant l'aire du triangle BAG, sert de vérification des dimensions : Aire($\triangle BAG$) = $100\sqrt{3} \approx 173$ cm². Cependant, la partie la plus délicate concerne l'aire de la pièce elle-même (Question 5).

La question 4 révèle que les trois pièces identiques peuvent former un disque complet. Puisque l'angle au centre d'une pièce est de $120^\circ$ ($3 \times 120^\circ = 360^\circ$), l'aire de la pièce correspond à l'aire d'un secteur circulaire, soit un tiers de l'aire totale du disque de rayon $R=20$ cm.

Aire du disque : $\pi R^2 = 400\pi$. Aire de la pièce : $\frac{400\pi}{3} \approx 419$ cm². Il est essentiel de ne pas confondre cette aire avec celle du segment circulaire (Secteur - Triangle).