Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un excellent exemple de sujet polyvalent au Brevet, combinant plusieurs notions fondamentales du programme de 3ème : le Programme de calculs, l'Algorithmique-programmation, le Calcul littéral, les Fonctions et les Équations. Il demande aux élèves de naviguer entre l'application numérique simple (Partie A) et la formalisation algébrique rigoureuse (Partie B), démontrant ainsi la capacité à lier différents domaines des mathématiques.

La Partie A vérifie la compréhension du programme de calcul, qui, pour un nombre $x$, peut être résumé par l'expression $(x-2)(x+1)$. Cette partie inclut des tests numériques (calculs avec des entiers et des fractions) ainsi que la traduction essentielle en langage de programmation Scratch, attestant des compétences en Algorithmique.

La Partie B établit le lien formel en introduisant la fonction $g(x)$. L'objectif est de prouver l'équivalence des formes (développée et factorisée), d'utiliser l'équation produit nul pour trouver les antécédents de 0, et de reconnaître la représentation graphique d'une fonction quadratique. L'ensemble de l'exercice est structuré pour s'assurer que l'élève maîtrise le passage du processus algorithmique à la modélisation fonctionnelle.

Points clés et méthodes de résolution

• Programme de calculs et Calculs fractionnaires : Pour la question A.2, il est crucial de bien manipuler les fractions. Si $x = -\dfrac{3}{2}$, les étapes sont : $(-\dfrac{3}{2} - 2) imes (-\dfrac{3}{2} + 1)$. Soit $(-\dfrac{3}{2} - \dfrac{4}{2}) imes (-\dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{2}) = (-\dfrac{7}{2}) imes (-\dfrac{1}{2}) = \dfrac{7}{4}$.
• Algorithmique (A.3) : Le script Scratch doit refléter les étapes du programme de calcul. Ligne 3: $a = réponse - 2$. Ligne 4: $b = réponse + 1$. Ligne 5: dire $a*b$.
• Calcul Littéral (B.1) : La preuve se fait par double distributivité : $(x-2)(x+1) = x^2 + 1x - 2x - 2 = x^2 - x - 2$.
• Équations Produit Nul (B.2) : Les solutions de $(x-2)(x+1)=0$ sont obtenues en résolvant $x-2=0$ (donc $x=2$) et $x+1=0$ (donc $x=-1$). Ces valeurs sont les antécédents de 0 par $g$.
• Fonctions et Représentation Graphique (B.3) : La fonction $g(x)=x^2-x-2$ est une fonction quadratique. Sa représentation est une parabole. Seul le Graphique 3 correspond à ce type de courbe. De plus, il passe par les points clés : $(0; -2)$, $(2; 0)$ et $(-1; 0)$.