Introduction aux notions de Calcul Numérique et de Puissances

L'exercice 1 du Brevet de Mathématiques 2014 (Zone Asie) est une application concrète et classique du programme de 3ème. Il sollicite deux compétences majeures : le calcul numérique avec des fractions et l'utilisation des puissances pour modéliser une répétition de processus. Dans cet exercice, on étudie la trajectoire d'une balle dont la hauteur diminue de manière constante à chaque rebond. Cette situation est l'introduction parfaite à la notion de suite géométrique, bien que ce terme soit officiellement abordé au lycée. Pour un élève de troisième, il s'agit de comprendre comment une fraction appliquée successivement sur elle-même se transforme en une écriture de type puissance $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$.

Analyse Méthodique : Comprendre la logique de l'énoncé

L'énoncé nous indique que la balle tombe d'une hauteur initiale de $1$ mètre. À chaque rebond, elle remonte à une hauteur égale aux $\dfrac{3}{4}$ de la hauteur précédente. Pour résoudre ce problème, il faut procéder par étapes analytiques :

• Rebond 1 : La hauteur atteinte est de $1 \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}$ mètre.
• Rebond 2 : La balle repart de cette nouvelle hauteur. Elle atteint donc $\dfrac{3}{4}$ de $\dfrac{3}{4}$, soit $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^2$ mètre.
• Rebond 3 : En suivant la même logique, on obtient $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \times \dfrac{3}{4} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^3$ mètre.

On observe ici une structure mathématique répétitive. L'exposant de la puissance correspond exactement au numéro du rebond. Pour répondre à la question portant sur le cinquième rebond, l'élève doit donc calculer $\left(\dfrac{3}{4}\right)^5$. Cette modélisation permet de gagner un temps précieux et d'éviter des erreurs de calcul intermédiaire.

Le Calcul et la Conversion des Unités

Une fois la formule identifiée, le calcul numérique s'opère. En utilisant la calculatrice ou les propriétés des puissances, on a : $\left(\dfrac{3}{4}\right)^5 = \dfrac{3^5}{4^5} = \dfrac{243}{1024}$. En valeur décimale, cela donne environ $0,2373046875$ mètre. L'énoncé demande un arrondi au centimètre près. C'est ici qu'intervient la maîtrise des unités de mesure. Puisque $1$ m = $100$ cm, la hauteur est d'environ $23,7304$ cm. En arrondissant à l'unité (au cm près), on obtient une hauteur finale de $24$ cm. Il est crucial de noter que le chiffre des dixièmes est $7$ (supérieur ou égal à $5$), ce qui justifie l'arrondi à l'unité supérieure.

Les Pièges Classiques à Éviter

Le premier piège est l'erreur d'exposant. Certains élèves pourraient s'arrêter au quatrième rebond ou multiplier $1$ par $3/4$ puis ajouter $5$ fois la fraction, ce qui est une erreur de raisonnement grave (confusion entre suite arithmétique et géométrique). Le deuxième piège réside dans l'arrondi. Il ne faut jamais arrondir les calculs intermédiaires. Si vous arrondissez au premier ou deuxième rebond, l'erreur se propage et le résultat final sera faussé. Enfin, l'unité est primordiale : répondre en mètres sans convertir en centimètres alors que la consigne le précise ferait perdre des points de rigueur.

Conseil de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir la totalité des points, la rédaction doit être soignée. Commencez par définir la hauteur initiale $h_0 = 1$. Expliquez la relation entre deux rebonds successifs par une phrase : "La hauteur au rebond $n$ est égale à la hauteur au rebond $n-1$ multipliée par $3/4$". Présentez ensuite le calcul global : $h_5 = 1 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^5$. Affichez la valeur exacte sous forme de fraction ou une valeur décimale approchée longue avant de conclure par une phrase claire : "La balle atteint une hauteur d'environ $24$ cm au cinquième rebond". Cette clarté démontre au correcteur que vous maîtrisez non seulement le calcul, mais aussi la logique scientifique derrière l'exercice.