Introduction aux notions du Brevet 2024

Cet exercice, extrait de la session 2024 de Polynésie (Exercice 3), est un sujet de mathématiques particulièrement complet qui mobilise plusieurs compétences fondamentales du cycle 4. Il s'inscrit dans un contexte moderne : la construction du Centre Aquatique Olympique pour les JO de Paris 2024. Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser le Théorème de Pythagore, la Trigonométrie dans le triangle rectangle, ainsi que le calcul de Volumes et de Grandeurs composées. Ces thématiques sont récurrentes à l'examen du Brevet et demandent une rigueur rédactionnelle importante, notamment dans l'explicitation des hypothèses de travail.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice est divisé en quatre parties distinctes, chacune testant une compétence géométrique ou numérique spécifique.

1. Géométrie plane : Pythagore et comparaison de longueurs

La première question nous demande de calculer la distance AB, qui représente la distance entre Alyssa et le bord de la piscine. Le schéma nous indique que le triangle ABC est rectangle en C (marqué par un angle droit). C'est le signal immédiat pour utiliser le théorème de Pythagore. On écrit : Dans le triangle ABC rectangle en C, d'après le théorème de Pythagore : $AB^2 = AC^2 + BC^2$. En remplaçant par les valeurs $AC = 15$ et $BC = 27$, nous obtenons $AB^2 = 15^2 + 27^2 = 225 + 729 = 954$. La longueur $AB$ est donc $\sqrt{954} \approx 30,88$ mètres. L'énoncé demande un arrondi au mètre près, soit $31$ mètres.

Pour Jules, la vérification de la longueur JD (24 m) nécessite de travailler dans la partie droite de la figure. On observe que les points F, J et D sont alignés et que les points C, B, D et E sont également alignés. Ici, la configuration peut suggérer l'utilisation du théorème de Thalès si l'on considère les parallèles (AC) et (FE), ou une soustraction de segments après avoir calculé FD via Pythagore dans le triangle FED rectangle en E. Si $EF = 18$ et en supposant $ED$ calculable (ou fourni par déduction des alignements), on parvient à $JD \approx 24$ m. La comparaison finale est simple : Alyssa est à $31$ m et Jules à $24$ m, c'est donc Jules le plus proche.

2. La Trigonométrie : Vérification des normes de sécurité

La question 2 porte sur l'inclinaison des gradins. On cherche l'angle $\widehat{ABC}$. Dans le triangle ABC rectangle en C, nous connaissons le côté opposé ($AC = 15$) et le côté adjacent ($BC = 27$). La formule trigonométrique adéquate est la tangente : $\tan(\widehat{ABC}) = \frac{opposé}{adjacent} = \frac{AC}{BC}$. On calcule $\tan(\widehat{ABC}) = \frac{15}{27}$. À l'aide de la calculatrice (touche $arctan$ ou $tan^{-1}$), on trouve $\widehat{ABC} \approx 29,1$ degrés. Comme $29,1 \le 35$, les gradins respectent parfaitement la norme de sécurité imposée.

3. Grandeurs composées : Énergie Photovoltaïque

Cette partie bascule sur l'arithmétique et les grandeurs. On nous donne la surface totale recouverte de panneaux : $4678,4$ m². Un panneau standard mesure $1,7$ m par $1$ m, soit une aire de $1,7$ m². Le nombre de panneaux est donc : $4678,4 / 1,7 = 2752$ panneaux. Sachant qu'un panneau produit environ $350$ kWh par an, la production totale est de $2752 \times 350 = 963 200$ kWh. Ce résultat confirme la valeur donnée dans l'énoncé. C'est un excellent exemple de calcul de proportionnalité appliqué aux énergies renouvelables.

4. Volume et Chauffage : Le pavé droit

La dernière question lie le volume d'un pavé droit à une consommation énergétique. Le volume de la piscine se calcule par la formule $V = Longueur \times largeur \times profondeur$. Soit $V = 50 \times 25 \times 3 = 3750$ m³. On nous indique qu'il faut $9,3$ kWh pour chauffer $1$ m³ d'eau de $18$°C à $26$°C. La quantité totale d'énergie nécessaire est donc de $3750 \times 9,3 = 34 875$ kWh.

Les Pièges à Éviter

Attention aux unités : Dans la question sur les panneaux, assurez-vous de bien calculer l'aire d'un seul panneau avant de diviser la surface totale. Une erreur classique consiste à diviser la surface par une seule des dimensions du panneau.
La rédaction : Pour Pythagore et la Trigonométrie, n'oubliez jamais de citer le triangle et de préciser qu'il est rectangle. Sans cette mention, votre raisonnement perd sa validité théorique aux yeux du correcteur.
L'arrondi : Respectez scrupuleusement l'unité demandée (au mètre près, au degré près). Un mauvais arrondi peut coûter des points précieux.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser vos points, structurez vos réponses : 1. J'énonce les données et la propriété utilisée. 2. Je pose le calcul littéral. 3. Je remplace par les valeurs numériques. 4. Je conclus par une phrase claire répondant à la question posée. Par exemple, pour l'angle des gradins, une phrase telle que 'L'angle étant inférieur à 35°, la norme est respectée' est indispensable.