Analyse de l'énoncé : Arithmétique et Géométrie

Cet exercice est un classique du Brevet, structuré en deux parties distinctes qui testent des compétences fondamentales de Troisième : l'Arithmétique (Partie A) et la Géométrie dans l'espace associée aux Fractions (Partie B).

La Partie A est centrée sur la recherche d'un diviseur commun, et plus précisément du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD). Le contexte des sachets cadeaux identiques, où tous les objets (330 autocollants, 132 drapeaux) doivent être utilisés, est l'application directe du PGCD. Il est essentiel de maîtriser la décomposition en produits de facteurs premiers, méthode privilégiée par les sujets récents du DNB pour calculer le PGCD.

La Partie B évalue la capacité à calculer le volume d'un pavé droit (piscine). Une attention particulière doit être portée à l'identification des trois dimensions (25 m, 15 m et 2 m). La difficulté réside ensuite dans l'application correcte de la fraction (les 9/10) au volume total avant de déterminer le coût.

Points clés pour la résolution

• Partie A.1 (Divisibilité) : Pour qu'il soit possible de faire 15 sachets, le nombre d'autocollants (330) et le nombre de drapeaux (132) doivent être des multiples de 15. Vérifier si 330 et 132 sont divisibles par 15 permet de répondre à la question. Rappel : un nombre est divisible par 15 s'il est divisible par 3 et par 5.
• Partie A.2.a (Décomposition) : La maîtrise des critères de divisibilité est cruciale. 330 = 2 × 3 × 5 × 11. 132 = 2² × 3 × 11.
• Partie A.2.b (PGCD) : Le PGCD s'obtient en multipliant les facteurs premiers communs munis du plus petit exposant. PGCD(330; 132) = 2 × 3 × 11 = 66. Le nombre maximal de sachets est 66.
• Partie B (Volumes) : Le volume total de la piscine est $V = L imes l imes h = 25 imes 15 imes 2 = 750 ext{ m³}$. Le volume d'eau réel est $750 imes rac{9}{10} = 675 ext{ m³}$. Le coût final est $675 imes 4,14$ €.

Cet exercice démontre l'importance de l'organisation des calculs et la nécessité de bien lire l'énoncé, notamment en Partie B où les dimensions du pavé droit doivent être correctement interprétées à partir de la figure.