Analyse de l'énoncé et préparation

Cet exercice met en jeu des notions fondamentales d'arithmétique étudiées en classe de 3ème : calcul de durées, décomposition en facteurs premiers et recherche du Plus Petit Commun Multiple (PPCM). Il demande également de la rigueur dans la modélisation des circuits d'entraînement.

Question 1 : Calcul des durées

Le temps total d'un circuit est la somme des durées de tous les exercices et de tous les temps de repos associés.

• Circuit 1 : 5 exercices. Durée d'un cycle (exercice + repos) : $40 ext{ s} + 16 ext{ s} = 56 ext{ s}$. Durée totale : $5 imes 56 = 280 ext{ secondes}$.
• Circuit 2 : 10 exercices. Durée d'un cycle : $30 ext{ s} + 5 ext{ s} = 35 ext{ s}$. Durée totale : $10 imes 35 = 350 ext{ secondes}$.

Question 2 : La décomposition en produit de facteurs premiers

La décomposition permet de préparer la question de synchronisation (PPCM) :

• $280 = 28 imes 10 = (4 imes 7) imes (2 imes 5) = 2^3 imes 5 imes 7$.
• $350 = 35 imes 10 = (5 imes 7) imes (2 imes 5) = 2 imes 5^2 imes 7$.

Question 3.a : Position à 2800 secondes

Pour savoir si Camille et Dominique sont au départ, il faut vérifier si 2800 est un multiple de leur temps de circuit respectif.

• Camille (Circuit 1 - 280s) : $2800 \div 280 = 10$. Camille a effectué 10 tours complets et est au départ.
• Dominique (Circuit 2 - 350s) : $2800 \div 350 = 8$. Dominique a effectué 8 tours complets et est également au départ.

Question 3.b : Retrouvailles au départ (PPCM)

Le temps nécessaire pour qu'ils se retrouvent en même temps pour la première fois au départ est le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de 280 et 350. En utilisant les décompositions de la question 2 :

• $PPCM(280, 350) = 2^{\max(3, 1)} imes 5^{\max(1, 2)} imes 7^{\max(1, 1)} = 2^3 imes 5^2 imes 7 = 8 imes 25 imes 7 = 1400 ext{ secondes}$.

Conversion en minutes et secondes : $1400 \div 60 = 23$ et il reste 20. La durée est de $23$ minutes et $20$ secondes.

Points clés

• La synchronisation de cycles fait toujours appel au concept de multiple commun, et souvent au PPCM.
• La décomposition en facteurs premiers est l'outil le plus fiable pour calculer le PPCM.