Analyse de l'énoncé et du Contexte

Cet exercice sur les Probabilités est un classique du Brevet, utilisant la roulette de casino comme support. La première étape cruciale pour l'élève de 3ème est d'identifier l'univers des possibles. La roulette est numérotée de 0 à 36, ce qui signifie qu'il y a $36 - 0 + 1 = 37$ issues possibles. L'énoncé précise que la bille a la même probabilité de s'arrêter sur chaque numéro (situation d'équiprobabilité). La formule de base à appliquer est donc : $P(\text{événement}) = \dfrac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre total de cas}}$.

Points clés et Méthodologie du Dénombrement

1. Probabilité d'un événement élémentaire

La question 1 est directe : si l'on considère le numéro 7, il s'agit d'un seul cas favorable sur les 37 possibles. La probabilité est donc $1/37$. Il est essentiel de justifier l'utilisation du dénominateur 37 en incluant le zéro.

2. Intersection d'événements (Noire et Paire)

La question 2 demande de calculer la probabilité d'un événement composé : 'la bille s'arrête sur une case à la fois noire et paire'. En l'absence d'un tableau de coloration dans l'énoncé, on se réfère à la coloration standard de la roulette (18 Noirs, 18 Rouges, 1 Vert). Pour trouver le nombre de numéros à la fois noirs ET pairs, il faut dénombrer les cas : les numéros noirs et pairs sont 12, 14, 16, 18, 30, 32, 34, 36. Il y a donc 8 cas favorables. La probabilité est $P(\text{Noir et Pair}) = 8/37$. Cette étape vérifie la capacité de l'élève à combiner deux critères de sélection.

3. Utilisation des événements complémentaires

Les questions 3.a et 3.b valorisent la compréhension des événements complémentaires, une notion clé du programme de 3ème.

• 3.a (Inférieur ou égal à 6) : Les numéros favorables sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Soit 7 cas. $P(X \le 6) = 7/37$.
• 3.b (Supérieur ou égal à 7) : Cet événement est l'événement complémentaire de $X \le 6$ (car $X \ge 7$ et $X \le 6$ sont disjoints et couvrent toutes les issues). $P(X \ge 7) = 1 - P(X \le 6) = 1 - 7/37 = 30/37$. L'usage de l'événement contraire simplifie le calcul.

4. Comparaison de probabilités

Pour la question 3.c, il faut comparer la probabilité trouvée ($30/37$) avec $3/4$. En convertissant en décimales : $3/4 = 0,75$. $30/37 \approx 0,8108$. Puisque $0,8108 > 0,75$, l'affirmation du joueur est correcte. Une méthode alternative aurait été de mettre les fractions au même dénominateur 148 : $30/37 = 120/148$ et $3/4 = 111/148$. Puisque $120/148 > 111/148$, le joueur a raison.