Introduction aux Statistiques et Probabilités au Brevet

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des Collèges 2014 (Zone Asie), est un modèle d'application concrète des mathématiques dans la gestion de projet. Il sollicite deux compétences majeures du programme de 3ème : l'interprétation de données statistiques (via un diagramme en barres) et le calcul de probabilités simples dans une situation sans remise. L'objectif est de vérifier si l'élève est capable de passer d'une représentation graphique à des données numériques pour effectuer un bilan financier complexe, tout en maîtrisant les subtilités d'un tirage aléatoire.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Analyse de la Question 1 : Le Bilan Financier de la Tombola

La première étape consiste à extraire les données du diagramme des ventes. C'est un exercice de lecture graphique essentiel. Chaque barre correspond à un jour de la semaine (du lundi au samedi). En observant l'axe des ordonnées (le nombre de tickets vendus), nous identifions les valeurs suivantes :
- Lundi : 350 tickets
- Mardi : 225 tickets
- Mercredi : 400 tickets
- Jeudi : 125 tickets
- Vendredi : 325 tickets
- Samedi : 475 tickets

Le total des tickets vendus est donc : $350 + 225 + 400 + 125 + 325 + 475 = 1900$.

Ensuite, il faut calculer le budget de l'association. Les recettes sont simples à obtenir : $1900 \times 2 = 3800$ €. Cependant, une erreur classique consiste à oublier de soustraire le coût des lots que l'association finance entièrement. Calculons le coût total des lots :
- Le gros lot : $1 \times 300 = 300$ €
- Les 10 lots secondaires : $10 \times 25 = 250$ €
- Les 20 petits lots : $20 \times 5 = 100$ €
Coût total des lots : $300 + 250 + 100 = 650$ €.

Le bénéfice net de l'association est donc : $3800 - 650 = 3150$ €. Étant donné que le montant de la sortie est de $2660$ €, le bénéfice ($3150$ €) est supérieur au coût de la sortie. L'association pourra donc financer entièrement le projet.

2. Analyse de la Question 2 : Modélisation d'un Nouvel Objectif de Financement

Ici, on change d'échelle. Le nombre de tickets vendus reste constant ($1900$), mais l'objectif de bénéfice net passe à $10000$ €. La question demande le prix minimal du ticket. Pour trouver ce prix, il faut que le prix de vente total couvre à la fois le voyage ET les lots.

Montant total à récolter = $10000$ (voyage) + $650$ (lots) = $10650$ €.
Soit $x$ le prix d'un ticket. Nous devons résoudre l'équation : $1900 \times x = 10650$.
$x = 10650 / 1900 \approx 5,6052...$

Pour que le financement soit totalement assuré, on ne peut pas arrondir à $5,60$ € (car il manquerait quelques euros), il faut donc proposer un prix de 5,61 € au minimum pour atteindre l'objectif.

3. Analyse de la Question 3 : Calcul de Probabilité Conditionnelle

C'est ici que la rigueur est de mise. Le gros lot a déjà été tiré. Cela signifie deux choses : le nombre total de tickets dans l'urne a diminué, et le nombre de lots disponibles a également diminué.

Nombre total de tickets restant : $1900 - 1 = 1899$.
Nombre de tickets gagnants restants : Il y avait au départ $1 + 10 + 20 = 31$ lots. Le gros lot étant tiré, il reste $10 + 20 = 30$ lots gagnants.

La probabilité est donc de $\frac{30}{1899}$. Pour respecter la consigne de la forme fractionnaire, on vérifie si elle est simplifiable. La somme des chiffres de 1899 est $1+8+9+9 = 27$, ce qui est divisible par 3. 30 est aussi divisible par 3.
$\frac{30 \div 3}{1899 \div 3} = \frac{10}{633}$.

Les Pièges et Erreurs Classiques

Dans ce type d'exercice 'tâche complexe', le piège principal est l'omission des charges (le coût des lots) dans le calcul du bénéfice de la question 1. De nombreux élèves calculent uniquement le chiffre d'affaires ($3800$ €) sans déduire les $650$ € de lots. Attention également aux unités dans la question 2 : ne confondez pas le bénéfice souhaité avec le prix du ticket. Enfin, en probabilités, n'oubliez jamais de déduire l'élément déjà tiré de l'effectif total (passer de 1900 à 1899).

Conseil de Rédaction pour l'Examen

Pour obtenir le maximum de points, détaillez chaque étape. Commencez par une phrase d'annonce : 'Calculons le nombre total de tickets vendus'. Présentez vos calculs clairement. Pour la lecture graphique, citez les valeurs lues. Pour les probabilités, énoncez la formule : 'Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles'. Une réponse brute sans explication, même juste, ne rapporte souvent que la moitié des points au Brevet.