Introduction aux notions du sujet Antilles 2020
Cet exercice issu du sujet du Brevet des collèges 2020 (Zone Antilles-Guyane) est une synthèse parfaite des attendus du cycle 4. Il combine trois piliers majeurs du programme de troisième : les probabilités, l'arithmétique (nombres premiers) et l'algorithmique via l'environnement Scratch. L'objectif est d'évaluer la capacité de l'élève à modéliser une expérience aléatoire à deux épreuves et à traduire ce modèle en langage de programmation par blocs.
Analyse Thématique 1 : Les Probabilités et l'Arithmétique
L'expérience consiste en deux tirages successifs et indépendants. L'urne bleue contient les boules \(\{2, 3, 4\}\) et l'urne rouge contient \(\{2, 3, 4, 5\}\). La première étape cruciale est de déterminer l'univers des possibles (noté \(\Omega\)). Puisque nous tirons une boule dans chaque urne, le nombre total d'issues est de \(3 \times 4 = 12\) couples possibles.
Analyse de la Question 1 : Événements et Nombres Premiers
L'exercice introduit la notion de nombres premiers. Rappelons qu'un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Dans nos urnes, les nombres premiers sont \(2, 3\) et \(5\). L'unité \(1\) n'est pas première, et \(4\) est composé (\(2 \times 2\)).
- La somme est égale à 12 : C'est un événement impossible. En effet, le tirage maximum est \((4 ; 5)\), ce qui donne une somme de \(4 + 5 = 9\). Comme \(9 < 12\), la somme \(12\) ne peut jamais être atteinte.
- Obtenir deux nombres premiers : C'est un événement possible. Par exemple, le tirage \((2 ; 3)\) est constitué de deux nombres premiers.
Pour calculer la probabilité d'obtenir deux nombres premiers, listons les cas favorables : \((2 ; 2), (2 ; 3), (2 ; 5), (3 ; 2), (3 ; 3), (3 ; 5)\). Il y a \(6\) issues favorables. La probabilité est donc \(P = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\) soit \(0,5\) ou \(50\%\).
Analyse de la Question 2 : La probabilité d'un double
Un « double » signifie que le numéro de la boule bleue est identique à celui de la boule rouge. Les couples possibles sont \((2 ; 2), (3 ; 3)\) et \((4 ; 4)\). Notez que \((5 ; 5)\) est impossible car la boule \(5\) n'existe pas dans l'urne bleue. Nous avons \(3\) cas favorables sur un total de \(12\). La probabilité est \(P = \frac{3}{12}\). En simplifiant la fraction par \(3\), on obtient bien \(\frac{1}{4}\) (soit \(0,25\)).
Analyse Thématique 2 : Algorithmique et Simulation Scratch
La simulation est un outil puissant pour vérifier des probabilités théoriques sur un grand nombre d'essais (loi des grands nombres). Ici, on simule \(1000\) tirages.
- Variables A, B et C : La variable \(A\) représente le nombre de répétitions de la boucle, soit \(1000\). La variable \(B\) correspond à la valeur maximale de la boule bleue, soit \(4\) (puisque les boules vont de \(2\) à \(4\)). La variable \(C\) correspond à la valeur maximale de la boule rouge, soit \(5\).
- Placement des blocs : Le bloc « Tirer deux boules » doit être placé à l'intérieur de la boucle « répéter », juste avant le test « si... alors ». Sans cela, les variables ne changent jamais de valeur à chaque tour de boucle.
- Initialisation : Le bloc « mettre Nombre de doubles à 0 » doit impérativement être placé avant le début de la boucle. Si on le mettait à l'intérieur, le compteur redescendrait à zéro à chaque itération, et si on le mettait après, on ne pourrait pas incrémenter le score.
- Fréquence : La fréquence se calcule par le rapport \(\frac{\text{Nombre de succès}}{\text{Nombre total d'essais}}\). La proposition \(\textcircled{2}\) (Nombre de doubles / 1000) est donc la seule correcte.
Les Pièges à éviter
Attention à la confusion classique sur les nombres premiers : le chiffre \(4\) n'est pas premier car il est divisible par \(2\). Autre piège : dans la simulation Scratch, ne pas oublier que l'urne bleue s'arrête à \(4\). Si vous mettez \(B=5\), vous faussez totalement la simulation car vous introduisez une boule inexistante. Enfin, veillez à bien distinguer probabilité (théorique) et fréquence (issue de l'expérience).
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points : 1. Justifiez toujours vos probabilités en montrant le rapport \(\frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\). 2. Listez explicitement les issues pour prouver votre raisonnement (ex: "Les doubles sont (2;2), (3;3), (4;4)"). 3. Pour Scratch, utilisez le vocabulaire précis : boucle, variable, incrémentation, test conditionnel.