Exercice Brevet 2014 - Asie - Ex 3 : Agrandissement et Réduction d'Hexagone
1 juin 2014
Troisième (Brevet)
🚨 Prêt(e) pour la géométrie du Brevet ? Cet exercice sur l'agrandissement est un grand classique ! Apprenez à transformer les figures, comme cette alvéole d'abeille 🐝, en appliquant un rapport de 10. Le secret est dans le calcul des nouvelles longueurs. Une lecture rapide, un tracé précis, et c'est 4 points assurés au DNB ! 📏
✅ Correction
🫣
Correction Masquée
Avez-vous bien cherché l'exercice ?
Analyse de l'énoncé : L'Agrandissement de l'Hexagone
Cet exercice de Brevet, tiré de la session 2014 (Asie), est une application directe de la notion d'Agrandissement-réduction, un chapitre essentiel de la géométrie au programme de 3ème. L'énoncé nous demande de construire un agrandissement d'un hexagone régulier, figure typique que l'on retrouve dans les nids d'abeilles.
Les informations essentielles à extraire sont :
- Figure initiale : Hexagone régulier.
- Longueur du côté initial $c_{\text{initial}}$ : 3 mm.
- Rapport d'agrandissement $k$ : 10.
Puisque le rapport $k > 1$, il s'agit bien d'un agrandissement. L'objectif principal est de déterminer la nouvelle longueur du côté avant de passer à la construction.
Le Calcul de la Nouvelle Longueur (Préparation)
En géométrie, lorsque l'on applique un agrandissement de rapport $k$ à une longueur $L$, la nouvelle longueur $L'$ est donnée par la formule $L' = k \times L$. Cette propriété est fondamentale et doit être parfaitement maîtrisée pour le Brevet.
Pour notre exercice, la nouvelle longueur $c_{\text{final}}$ du côté de l'hexagone agrandi est :
$$c_{\text{final}} = 10 \times 3 \text{ mm} = 30 \text{ mm}$$
Pour faciliter la construction sur papier (qui nécessite souvent une échelle en centimètres ou en décimètres), nous convertissons cette mesure : $c_{\text{final}} = 3 \text{ cm}$.
Il est crucial de se souvenir que lors d'un agrandissement ou d'une réduction, seules les longueurs sont multipliées par le rapport. Les angles (ici 120° pour les sommets de l'hexagone régulier) restent strictement inchangés. Un hexagone régulier agrandi reste un hexagone régulier.
Points clés pour la Construction (Méthodologie 3ème)
L'exercice demande une construction sans justification. La méthode la plus efficace pour tracer un hexagone régulier de côté 3 cm (notre résultat après agrandissement) utilise la propriété qu'un hexagone régulier est composé de six triangles équilatéraux dont le côté est égal au rayon du cercle circonscrit.
- Dessiner un cercle de rayon $R = 3$ cm. Ce rayon est égal à la longueur des côtés de l'hexagone.
- Placer un point A sur le cercle (ce sera le premier sommet).
- À l'aide du compas réglé sur le rayon (3 cm), reporter cette mesure six fois de suite sur le cercle en partant de A. Chaque intersection marque un nouveau sommet.
- Relier consécutivement les six points obtenus pour former l'hexagone.
La précision du tracé est la seule compétence évaluée ici. La première étape, le calcul des nouvelles dimensions, est implicite et indispensable à la réussite de la construction.