Analyse de l'énoncé : Géométrie plane et configuration de Thalès
Cet exercice, issu de l'épreuve de Nouvelle Calédonie du Brevet 2014, est un classique du DNB visant à vérifier la bonne maîtrise de la géométrie et, en particulier, l'application du Théorème de Thalès. Il débute par une phase de construction (question 1), nécessitant rigueur et connaissance des propriétés du triangle isocèle.
Le triangle ABC est isocèle en A avec AB = AC = 5 cm. Le point M est placé sur [AB] de sorte que AM = AB - BM, soit AM = 5 - 2 = 3 cm. La clé de l'exercice est la création d'une configuration de Thalès : la droite (MN) est parallèle à (BC). Cette condition est indispensable pour passer à l'étape de calcul.
Application et Justification du Théorème de Thalès (Question 2)
Pour calculer les longueurs MN et AN, il est impératif d'identifier clairement les conditions d'application du Théorème de Thalès : les points A, M, B et A, N, C sont alignés, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Nous pouvons alors établir l'égalité des rapports :
$$ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} $$
En utilisant les valeurs connues (AM = 3 cm, AB = 5 cm, AC = 5 cm, BC = 2 cm), on peut d'abord calculer AN. Du fait que AB = AC et que les deux premiers rapports sont égaux, on déduit immédiatement que AN = AM = 3 cm. Le calcul de MN s'effectue ensuite par produit en croix.
Démonstration de l'égalité des périmètres (Question 3)
La dernière question teste la capacité à manipuler des expressions littérales basées sur les figures géométriques. Il faut d'abord exprimer les deux périmètres :
- Périmètre du triangle AMN : P(AMN) = AM + AN + MN
- Périmètre du quadrilatère BMNC : P(BMNC) = BM + NC + BC + MN
Comme nous avons établi que AM = AN = 3 cm, et que NC = AC - AN = 5 - 3 = 2 cm, nous remplaçons ces valeurs. Le but est de montrer que P(AMN) = P(BMNC). Cette étape souligne l'importance d'utiliser les propriétés du triangle isocèle (AC = AB) pour simplifier les calculs et prouver l'égalité demandée.
Points clés à retenir pour le DNB
- Maîtriser la construction d'une figure à partir de ses propriétés.
- Savoir identifier et justifier l'utilisation du Théorème de Thalès.
- Être capable d'exprimer et de comparer des périmètres en géométrie.