Analyse de l'énoncé

Cet exercice de géométrie plane, typique du Brevet, demande de justifier le parallélisme de deux droites, (AB) et (CD), en s'appuyant uniquement sur les codages et les informations fournies pour chaque figure.

Résolution Figure 1 : Symétrie Centrale et Parallélogramme

La Figure 1 présente deux droites sécantes (AC) et (BD) se coupant au point O. Les codages (simple et double trait) indiquent que le point O est le milieu des segments [AC] et [BD] :

• $OA = OC$ (double trait)
• $OB = OD$ (simple trait)

Propriété utilisée : Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Ici, le quadrilatère ADBC a ses diagonales [AC] et [BD] qui se coupent en leur milieu O. ADBC est donc un parallélogramme.

Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles. Par conséquent, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Résolution Figure 2 : Angles et Perpendicularité

Nous cherchons si les droites (AB) et (CD) sont parallèles en exploitant les propriétés du cercle et des angles droits.

Points clés

• Alignement et Diamètre : Les points A, O, E sont alignés et O est le centre du cercle. [AE] est donc un diamètre. De plus, A, O, E, D sont alignés, définissant la droite (AD).
• Angle Droit (Cercle) : Les points A, B, E étant sur le cercle et [AE] étant un diamètre, l'angle inscrit $\widehat{ABE}$ est un angle droit : $\widehat{ABE} = 90^\circ$. Puisque B, E, C sont alignés, cela signifie que la droite (AB) est perpendiculaire à la droite (BC) (ou (AD) n'est pas la perpendiculaire commune).
• Angle Droit (Codage) : Le codage d'angle droit au point C indique que la droite (CD) est perpendiculaire à la droite (AD), car A, D et C définissent un angle droit $\widehat{ADC}$ (ou $\widehat{ACD}$ selon l'interprétation du dessin, mais étant donné que C est proche de la ligne, l'angle est bien $\widehat{ACD}$ ou $\widehat{ADC}$ si D était le sommet). En observant le placement du carré, on déduit que (CD) est perpendiculaire à (AD).

Conclusion : Pour que deux droites (AB) et (CD) soient parallèles, elles doivent être perpendiculaires à une même droite. Ici, (CD) est perpendiculaire à la droite (AD).

Cependant, aucune information ne permet de déduire que (AB) est également perpendiculaire à (AD). Au contraire, si (AB) était perpendiculaire à (AD), le triangle $OAB$ (isocèle en O) aurait deux angles droits, ce qui est impossible. Les droites (AB) et (CD) ne sont donc pas parallèles.