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Exercice Brevet 2014 - Métropole - Ex 6 : Inclinaison des Feux et Trigonométrie

1 juin 2014 Troisième (Brevet)

🚗 Sécurité Routière et Maths ! Combien de mètres éclairent vos phares ? Cet exercice de Brevet utilise la Trigonométrie et les propriétés des triangles pour vérifier si les feux de croisement de Pauline sont conformes et calculer leur portée. Un cas pratique parfait pour maîtriser les rapports et l'angle d'inclinaison. Prêt(e) à prendre la route du succès au DNB ? 📐

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Analyse de l'énoncé : Phares, Inclinaison et Géométrie

Cet exercice, tiré du Brevet 2014, est un excellent exemple d'application concrète de la géométrie plane et de la trigonométrie. L'objectif est de vérifier la conformité du réglage des feux de croisement d'une voiture en calculant leur inclinaison, puis d'en déduire l'angle correspondant et la portée maximale. La configuration utilise un mur vertical (QC) et la distance au sol (AC), modélisant un triangle rectangle (PQK) idéal pour les calculs de pente et d'angle.

Points clés et Notions (Thalès et Trigonométrie)

Pour réussir cet exercice, il faut mobiliser deux concepts principaux :

Rapport d'Inclinaison : L'inclinaison est un rapport de longueurs (QK/QP). Elle représente la pente du faisceau lumineux. QK est la chute verticale du phare (P) à l'impact (K) par rapport à la hauteur du phare (PA).
Trigonométrie : L'inclinaison (le rapport QK/QP) est, par définition dans le triangle rectangle PQK, la tangente de l'angle d'inclinaison $\widehat{QPK}$.
Application de la Pente : La pente (ou inclinaison) du faisceau est constante. On utilise cette propriété pour déterminer la distance AS d'éclairage totale, reliant le petit triangle PQK au grand triangle formé par le phare, le sol et la portée maximale.

Démarche de résolution (Question 1)

Pour calculer l'inclinaison, nous devons d'abord trouver la hauteur $QK$. Q est à la hauteur du phare $PA = 0,65$ m. K est à la hauteur $CK = 0,58$ m du sol. Donc $QK = PA - CK = 0,65 - 0,58 = 0,07$ m. L'inclinaison est $0,07 / 5 = 0,014$.

Démarche de résolution (Question 2)

L'angle $\widehat{QPK}$ est tel que $\tan(\widehat{QPK}) = 0,014$. En utilisant la fonction $\arctan$, on trouve $\widehat{QPK} \approx 0,802$°, soit $\mathbf{0,8}$ degrés arrondi au dixième.

Démarche de résolution (Question 3)

Puisque le taux d'inclinaison est constant (0,014), et que le faisceau part de la hauteur $PA=0,65$ m pour atteindre le sol à la distance $AS$, on applique : $\text{Inclinaison} = PA / AS$. Ainsi, $0,014 = 0,65 / AS$. On obtient $AS = 0,65 / 0,014 \approx 46,43$ m. Arrondi au mètre près, la distance d'éclairage est de $\mathbf{46}$ mètres.