Introduction aux notions de fonctions et tableur au Brevet
L'exercice 3 du sujet Brevet 2014 de Polynésie est un classique indispensable pour tout élève de 3ème. Il combine deux piliers du programme de mathématiques : la modélisation par les fonctions et l'usage du tableur. Dans cette épreuve, on attend de toi que tu saches naviguer entre l'expression algébrique d'une fonction (comme $f(x) = x^2 + 3x - 7$), sa représentation numérique dans un tableau, et l'interprétation des formules informatiques associées. Comprendre qu'une cellule de tableur comme =B1*B1+3*B1-7 traduit exactement la fonction $f(x)$ est la clé pour réussir ce type d'exercice hybride.
Analyse Méthodique de l'exercice
Le sujet nous présente trois fonctions : $f$ (du second degré), $g$ (affine) et $h$ (affine, mais dont l'expression est inconnue). L'objectif est d'extraire des informations de la capture d'écran pour répondre aux problématiques algébriques.
1. Lecture directe d'image et d'antécédent
La première question demande de trouver un nombre ayant pour image $-7$ par la fonction $f$. Pour cela, regarde la ligne 2 du tableau consacrée à $f(x)$. Cherche la valeur $-7$ dans cette ligne. Une fois trouvée (colonne C), remonte à la ligne 1 pour lire la valeur de $x$ correspondante. Ici, on voit que pour $x = 0$, $f(x) = -7$. On dit donc que $0$ est un antécédent de $-7$, ou que l'image de $0$ est $-7$. C'est une compétence de lecture de tableau fondamentale.
2. Vérification par le calcul : L'image de 6
Pour vérifier que $f(6) = 47$, il ne suffit pas de lire le tableau (colonne F). Le correcteur attend un calcul détaillé. Remplace $x$ par $6$ dans l'expression $f(x) = x^2 + 3x - 7$.
Calcul : $f(6) = 6^2 + 3 \times 6 - 7$.
Respecte les priorités opératoires :
$f(6) = 36 + 18 - 7 = 54 - 7 = 47$.
Le résultat est confirmé. Cette étape montre que le tableur et le calcul manuel sont cohérents.
3. Résolution graphique/numérique d'une équation
L'équation $x^2 + 3x - 7 = 4x + 5$ revient à chercher quand $f(x) = g(x)$. Dans le tableur, cela signifie chercher une colonne où les valeurs des lignes 2 et 3 sont identiques. En observant la colonne E, on remarque que pour $x = 4$, $f(x) = 21$ et $g(x) = 21$.
La solution de l'équation est donc $x = 4$. Il est crucial de préciser que la solution est la valeur de la variable $x$, et non le résultat $21$.
4. Détermination de l'expression algébrique de $h(x)$
C'est la question la plus technique. On sait que $h$ est une fonction affine, donc de la forme $h(x) = ax + b$.
Trouver l'ordonnée à l'origine $b$ : On regarde l'image de $0$ dans le tableau. Pour $x = 0$ (colonne C), $h(0) = 5$. Donc $b = 5$.
Trouver le coefficient directeur $a$ : Utilise deux points, par exemple $(0 ; 5)$ et $(2 ; 1)$. La formule est $a = (h(x_2) - h(x_1)) / (x_2 - x_1)$.
$a = (1 - 5) / (2 - 0) = -4 / 2 = -2$.
L'expression est donc $h(x) = -2x + 5$. On peut vérifier avec $x = 4$ : $-2 \times 4 + 5 = -8 + 5 = -3$, ce qui correspond bien à la valeur en colonne E.
Les Pièges à Éviter
Attention à la confusion entre image et antécédent. L'image est sur l'axe des ordonnées ($y$ ou $f(x)$), l'antécédent sur l'axe des abscisses ($x$). Au tableur, $x$ est toujours en ligne, les fonctions en colonnes (ou inversement selon l'énoncé, ici $x$ est en ligne 1). Un autre piège classique est d'oublier le signe "moins" lors du calcul du coefficient directeur $a$. Si la fonction diminue dans le tableau (9, 5, 1, -3...), le coefficient $a$ doit impérativement être négatif.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points :
1. Citez explicitement le tableau : "D'après la lecture de la colonne C du tableau...".
2. Détaillez chaque étape de calcul, même les plus simples. Le correcteur évalue votre démarche autant que votre résultat.
3. Pour l'expression de $h(x)$, rappelez d'abord la forme générale $ax + b$. Cela montre que vous connaissez votre cours sur les fonctions affines.