Analyse de l'énoncé : Géométrie, Vrai/Faux et Déduction

Cet exercice de type Vrai/Faux, très courant au Brevet, teste la maîtrise des définitions et propriétés fondamentales de la géométrie plane et de la trigonométrie. Il nécessite de mobiliser des connaissances précises sur le cercle circonscrit, la médiatrice, les quadrilatères et l'utilisation des relations trigonométriques dans le triangle rectangle (Cosinus).

Correction Détaillée par Affirmation

1. Tout triangle inscrit dans un cercle est rectangle.

Réponse : Faux.

Explication : Cette propriété n'est vraie que dans un cas particulier. Un triangle inscrit dans un cercle n'est rectangle que si l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle (Réciproque du théorème de Thalès). Un triangle inscrit peut être aigu ou obtusangle s'il ne respecte pas cette condition.

2. Si un point M appartient à la médiatrice d'un segment [AB] alors le triangle AMB est isocèle.

Réponse : Vrai.

Explication : La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment. Si M appartient à la médiatrice de [AB], alors la distance MA est égale à la distance MB ($MA=MB$). Par définition, un triangle ayant deux côtés égaux est isocèle, donc le triangle AMB est isocèle en M.

3. Dans le triangle ABC (avec $BC=8$ cm et $\widehat{B}=60^\circ$ d'après la figure), AB = 4 cm.

Réponse : Vrai.

Explication : Bien que la figure ne comporte pas le symbole d'angle droit, le dessin (lignes verticales et horizontales pour les côtés AC et AB) suggère que le triangle est rectangle en A. Si l'on suppose le triangle ABC rectangle en A, nous pouvons utiliser le cosinus de l'angle B : $AB = BC imes \cos(\widehat{B})$. Avec $BC = 8$ cm et $\widehat{B} = 60^\circ$ : $AB = 8 imes \cos(60^\circ) = 8 imes 0,5 = 4$ cm. L'affirmation est donc vérifiée dans ce contexte géométrique standard du Brevet.

4. Le quadrilatère ABCD ci-contre est un carré.

Réponse : Faux.

Explication : La figure présente quatre côtés de même longueur (marqués par les tirets), ce qui définit un losange. Pour qu'un losange soit un carré, il doit posséder au moins un angle droit (ou des diagonales de même longueur). L'énoncé ne fournit aucune information concernant les angles droits ou les longueurs des diagonales. Nous ne pouvons donc affirmer qu'il s'agit d'un carré, c'est seulement un losange certain (et peut-être un carré, mais non prouvé).

Points clés à retenir pour le Brevet

• Toujours vérifier la condition nécessaire et suffisante (CNS) pour les propriétés géométriques (Triangle rectangle dans un cercle).
• La définition de la médiatrice est synonyme d'équidistance.
• En trigonométrie, les figures sont souvent (mais pas toujours) des triangles rectangles implicites si elles permettent un calcul standard.