Analyse de l'énoncé et Compétences Clés

Cet exercice, extrait du Brevet 2014 en Polynésie, est un classique incontournable du cycle 4. Il mobilise simultanément quatre compétences fondamentales : la compréhension d'un Programme de calculs, l'interprétation d'un Tableur, l'application du Calcul littéral (développement et factorisation) et la résolution d'Équations.

L'objectif principal est de comparer deux programmes de calcul apparemment différents pour prouver, grâce à l'algèbre, qu'ils sont équivalents.

Points clés de la Résolution

• Vérification Numérique (Q1) : L'application des deux programmes au nombre 10 permet de vérifier rapidement qu'ils donnent le même résultat (190). C'est souvent la première étape vers une conjecture.
• Le Tableur et les Formules (Q2.a) : Le programme B (Choisir un nombre $x$, calculer son carré $x^2$, multiplier par 2 ($2x^2$), soustraire le nombre choisi ($2x^2 - x$)) doit être traduit en formule tableur. La cellule C2 doit faire référence à la cellule A2 : =2*A2^2-A2 ou =2*A2*A2-A2.
• La Conjecture (Q2.b) : L'égalité des résultats observée dans le tableau A2=B2 pour tous les nombres testés mène à la conjecture que Programme A = Programme B.
• La Preuve par le Calcul Littéral (Q2.c) :
  • Programme B est déjà sous forme littérale : $B(x) = 2x^2 - x$.
  • Programme A nécessite un développement : $A(x) = (x - 0.5) imes (2x) = x imes 2x - 0.5 imes 2x = 2x^2 - 1x = 2x^2 - x$.
  Puisque $A(x)$ et $B(x)$ ont la même expression simplifiée, la conjecture est prouvée, quel que soit le nombre choisi.
• Résolution de l'Équation (Q3) : Pour trouver les nombres donnant 0, nous résolvons $2x^2 - x = 0$. Cette équation se résout par factorisation, transformant l'expression en un produit nul : $x(2x - 1) = 0$. Les solutions sont donc $x=0$ et $2x-1=0$, soit $x=0,5$.

Maîtriser la transition entre le langage naturel des programmes de calcul et leur traduction algébrique est essentiel pour réussir au Brevet.