Introduction aux notions fondamentales du Brevet 2022

L'exercice 1 du sujet du Brevet des Collèges 2022 (Centres Étrangers) constitue une base de révision idéale pour tout élève de troisième. Il combine deux piliers du programme de mathématiques : l'analyse de fonctions et la géométrie classique. Cet exercice est structuré en deux parties indépendantes, permettant de tester à la fois vos capacités de lecture graphique, de manipulation algébrique et votre rigueur géométrique. Nous allons aborder ici les concepts de fonctions affines, l'utilisation du tableur, le calcul littéral (double distributivité) et l'incontournable théorème de Pythagore dans sa forme réciproque.

Analyse détaillée de la Partie A : Le QCM sur les fonctions

La première partie est un QCM. La règle d'or ici est la rapidité sans précipitation. On nous donne la fonction $f(x) = 2x + 3$.

1. Reconnaissance graphique d'une fonction affine

La fonction $f(x) = 2x + 3$ est une fonction affine de la forme $ax + b$. Son coefficient directeur (la pente) est $a = 2$, ce qui signifie que la droite 'monte'. Son ordonnée à l'origine est $b = 3$, ce qui signifie que la droite doit impérativement couper l'axe des ordonnées (l'axe vertical) au point de coordonnées $(0 ; 3)$. En observant les propositions, seule la Réponse A remplit ces deux conditions. La réponse B représente une fonction constante ($f(x) = 3$) et la réponse C représente une fonction linéaire ($f(x) = 2x$) passant par l'origine.

2. Calcul d'image : Remplacer pour réussir

On vous demande de trouver l'image de $-2$ par la fonction $f$. En mathématiques, 'calculer l'image' signifie remplacer $x$ par la valeur donnée dans l'expression de la fonction. Le calcul est le suivant : $f(-2) = 2 \times (-2) + 3$. En respectant les priorités opératoires, on calcule d'abord le produit : $2 \times (-2) = -4$. Puis on ajoute 3 : $-4 + 3 = -1$. La réponse exacte est donc la Réponse B. Attention à ne pas vous tromper dans les signes, c'est l'erreur la plus fréquente chez les candidats.

3. Maîtriser le tableur au Brevet

Le tableur est un outil classique du sujet de maths. La question porte sur la formule à saisir en cellule B2. Cette cellule doit calculer l'image de la valeur située juste au-dessus, en B1 (qui joue le rôle de $x$). L'expression de la fonction étant $2x + 3$, la formule doit traduire cette opération. En langage tableur, la multiplication est représentée par l'astérisque `*`. La formule correcte est donc `=2*B1 + 3`. Pourquoi pas A1 ? Parce qu'en B2, on veut le résultat correspondant à l'antécédent situé en B1. C'est la réponse B.

Analyse détaillée de la Partie B : Algèbre et Géométrie

Cette partie demande une rédaction plus rigoureuse car elle n'est pas sous forme de QCM.

1. Développer et réduire : La double distributivité

On doit montrer que $(2x - 1)(3x + 4) - 2x = 6x^2 + 3x - 4$. Commençons par développer le produit de deux parenthèses (double distributivité) : $(2x \times 3x) + (2x \times 4) + (-1 \times 3x) + (-1 \times 4)$. Cela nous donne $6x^2 + 8x - 3x - 4$. N'oublions pas de soustraire le $-2x$ qui était à l'extérieur des parenthèses. On obtient alors $6x^2 + 8x - 3x - 4 - 2x$. En regroupant les termes en $x$, on fait le calcul : $8x - 3x - 2x = 3x$. Le résultat final est bien $6x^2 + 3x - 4$. La démonstration est complète.

2. Géométrie : Le triangle est-il rectangle ?

Pour savoir si le triangle CDE est rectangle, nous devons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. Les côtés sont CD = 3,6 cm, CE = 4,2 cm et DE = 5,5 cm. Le côté le plus long est DE. Calculons d'une part le carré de ce côté : $DE^2 = 5,5^2 = 30,25$. D'autre part, calculons la somme des carrés des deux autres côtés : $CD^2 + CE^2 = 3,6^2 + 4,2^2 = 12,96 + 17,64 = 30,6$. On constate que $30,25 \neq 30,6$. L'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée ($DE^2 \neq CD^2 + CE^2$). On en conclut que le triangle CDE n'est pas rectangle.

Les Pièges à éviter le jour de l'examen

Le premier piège est le signe dans le calcul d'images ou le développement. Une erreur sur un signe moins et tout le calcul littéral s'effondre. Le deuxième piège concerne la rédaction en géométrie. Ne dites jamais 'D'après le théorème de Pythagore' pour prouver qu'un triangle est rectangle avant d'avoir fait les calculs. Vous devez calculer les carrés séparément, puis comparer les résultats. Si les résultats sont différents, on conclut que le triangle n'est pas rectangle par la contraposée ou simplement en précisant que l'égalité n'est pas vérifiée.

Conseils de Rédaction pour maximiser ses points

Pour le QCM, contentez-vous de la réponse demandée, mais sur votre brouillon, justifiez toujours pour être sûr. Pour la partie B, chaque étape du développement doit être écrite ligne par ligne. En géométrie, présentez clairement votre raisonnement : nommez le côté le plus long, montrez les calculs des carrés de manière distincte, et écrivez une phrase de conclusion explicite. Une copie propre et structurée permet à l'examinateur de vous attribuer des points même si vous faites une petite erreur de calcul à la fin.