Analyse de l'énoncé : Démystifier le Calcul Numérique
Cet exercice, issu du Brevet 2014 de Polynésie, est un classique du DNB. Il vise à vérifier si l'élève sait justifier les résultats donnés par une calculatrice, en détaillant les étapes clés du calcul numérique. Il aborde simultanément trois domaines fondamentaux : le calcul fractionnaire, la simplification des racines carrées, et l'addition en notation scientifique. Il est crucial de détailler chaque étape pour obtenir tous les points.
Détail du Calcul 1 : Soustraction de Fractions
Pour soustraire $\dfrac{5}{6}$ et $\dfrac{3}{4}$, nous devons d'abord trouver un dénominateur commun. Le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de 6 et 4 est 12.
$$\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} - \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3}$$
Nous obtenons :
$$\dfrac{10}{12} - \dfrac{9}{12} = \dfrac{10 - 9}{12} = \dfrac{1}{12}$$
Détail du Calcul 2 : Simplification d'une Racine Carrée
La simplification de $\sqrt{18}$ utilise la propriété $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$. Nous devons décomposer 18 en utilisant le plus grand carré parfait possible. Dans ce cas, $18 = 9 \times 2$.
$$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2}$$
Ensuite, nous séparons la racine :
$$\sqrt{18} = \sqrt{9} \times \sqrt{2}$$
Puisque $\sqrt{9} = 3$, on obtient :
$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$
Détail du Calcul 3 : Addition en Notation Scientifique
Le calcul $8 \times 10^{15} + 2 \times 10^{15}$ est simplifié car les deux termes ont la même puissance de 10. On factorise par $10^{15}$ :
$$8 \times 10^{15} + 2 \times 10^{15} = (8 + 2) \times 10^{15}$$
$$= 10 \times 10^{15}$$
Pour mettre le résultat en notation scientifique rigoureuse (un nombre entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10), on réécrit $10$ comme $10^1$ :
$$10 \times 10^{15} = 10^1 \times 10^{15} = 10^{(1+15)} = 1 \times 10^{16}$$
Points clés à retenir pour le Brevet
- En calcul fractionnaire, la recherche du PPCM est indispensable.
- Pour les racines, décomposer le radicande avec un carré parfait maximise la simplification.
- L'addition de puissances de 10 nécessite la factorisation. Attention à la mise en forme finale du résultat en notation scientifique.