Analyse de l'énoncé : Vitesses et Proportionnalité en situation réelle

Cet exercice du Brevet 2014 (Centres étrangers) est un excellent exemple de l'application des mathématiques de niveau 3ème à des situations concrètes de la vie quotidienne : la planification d'un voyage. Il mobilise principalement les notions de Vitesses (Distance, Temps) et de Proportionnalité (calcul de consommation).

Points clés de l'exercice

• Conversion d'unités de temps : Essentielle pour le calcul de vitesse moyenne (passage des minutes en heures décimales).
• Interprétation de données : Savoir extraire les informations pertinentes du tableau (distance autoroute vs distance totale, temps autoroute vs temps total).
• Calcul de quotients : Utilisation de la relation fondamentale $V = D/T$.
• Proportionnalité : Utilisation du prix total et du prix au litre pour déterminer une quantité (le volume de carburant consommé).

Démarche pédagogique détaillée

Question 1 : Vitesse moyenne sur autoroute. L'erreur classique est d'utiliser 8,31 heures. Il faut d'abord convertir les 31 minutes en heures en divisant 31 par 60, soit $31/60 \approx 0,5167$ h. Le temps total de trajet sur autoroute est donc $T = 8 + 31/60$ heures. Avec une distance $D = 993$ km, la vitesse moyenne $V = 993 / (8 + 31/60) \approx 116,59$ km/h. Arrondi au km/h, on obtient 117 km/h.

Question 2 : Durée minimale avec pauses. Le temps de conduite total est de 8 h 47 min. Sachant qu'une pause est nécessaire toutes les deux heures, nous devons identifier le nombre de tranches de deux heures complètes. $8 ext{ h } 47 ext{ min}$ contient quatre intervalles de 2 heures. Il faut donc prévoir quatre pauses minimales de 10 minutes, soit $4 imes 10 = 40$ minutes de pause. La durée minimale totale du voyage est $8 ext{ h } 47 ext{ min} + 40 ext{ min} = 9 ext{ h } 27 ext{ min}$.

Question 3 : Faisabilité avec un seul plein. C'est ici que la proportionnalité intervient. Le coût du carburant est de 89,44 € et le litre coûte 1,42 €. Pour trouver le volume consommé (en Litres), on effectue la division : $89,44 € / 1,42 €/ ext{L} = 63$ L. Comme la consommation estimée (63 L) est supérieure à la capacité du réservoir (60 L), Julien ne peut pas faire le trajet avec un seul plein d'essence en se fiant aux données du site internet.