Introduction aux Transformations au Brevet des Collèges
Les transformations du plan constituent un pilier fondamental du programme de mathématiques en classe de 3ème. Cet exercice, issu du sujet du Brevet 2018 pour la zone Amérique du Nord, sollicite les compétences de l'élève en matière de géométrie dynamique et de reconnaissance de motifs. L'objectif est de comprendre comment passer d'un objet simple (le triangle isocèle) à une structure complexe (la frise) en utilisant des outils géométriques précis : la symétrie et la translation. Maîtriser ces notions est essentiel, car elles apparaissent de manière récurrente dans les épreuves de fin d'année, souvent couplées à l'utilisation de logiciels de type Scratch ou GeoGebra.
Analyse de la Question 1 : Du motif 1 au motif 2
Dans la première partie de l'exercice, nous observons le passage du motif 1 au motif 2. Le motif 1 est un triangle $ABC$ isocèle en $C$. Cela signifie que les côtés $[AC]$ et $[BC]$ ont la même longueur. Pour obtenir le motif 2, qui est un losange $ACBD$, Gaspard a dû ajouter un point $D$. En géométrie, un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur, ou dont les diagonales se coupent en leur milieu perpendiculairement. Pour transformer le triangle $ABC$ en losange $ACBD$, la transformation la plus naturelle est la symétrie axiale d'axe $(AB)$. En effet, par cette symétrie, le point $C$ est envoyé sur le point $D$, et les segments $[AC]$ et $[BC]$ sont conservés par réflexion, créant ainsi les segments $[AD]$ et $[BD]$. Une autre réponse possible, bien que moins immédiate, serait la symétrie centrale par rapport au milieu du segment $[AB]$. Il est crucial ici de bien nommer l'élément caractéristique de la transformation : l'axe pour la symétrie axiale ou le centre pour la symétrie centrale.
Analyse de la Question 2 : La translation et la construction de la frise
La deuxième question introduit la notion de translation. Une translation est un glissement d'une figure sans déformation, sans retournement et sans rotation. Elle est définie par une direction, un sens et une longueur (souvent représentés par un vecteur). Gaspard applique cette transformation de manière répétée au motif 2 (le losange) pour créer une frise. En observant attentivement les captures d'écran et le code source de la figure, on constate que le motif se déplace vers le bas et la droite. Pour préciser la translation, il faut identifier deux points homologues, c'est-à-dire un point de départ et son image. Ici, le point $C$ du premier motif est envoyé sur le point $B$ du premier motif pour devenir le nouveau point de départ du motif suivant. On peut donc dire qu'il s'agit de la translation qui transforme le point $C$ en $B$. En termes de vecteurs, on parlerait du vecteur $\vec{CB}$. L'identification correcte de ce "vecteur de glissement" est la clé pour obtenir la totalité des points sur ce type de question.
L'importance des Logiciels de Géométrie Dynamique
L'exercice mentionne que Gaspard travaille avec un logiciel de géométrie. Cette précision n'est pas anodine. Au Brevet, on attend des élèves qu'ils fassent le lien entre les manipulations à l'écran et les propriétés mathématiques théoriques. Dans un logiciel comme GeoGebra, une translation est souvent réalisée en sélectionnant l'objet puis en définissant un vecteur. Comprendre que la translation conserve les longueurs, les aires et l'alignement est un argument de poids dans une copie de brevet. La frise est l'application parfaite de la translation répétée, tandis que le pavage ferait intervenir des rotations ou des symétries plus complexes.
Pièges classiques et Conseils de Rédaction
Attention à ne pas confondre les termes ! Une erreur courante est d'utiliser le mot "déplacement" au lieu de "translation". Pour le jury, seul le vocabulaire mathématique précis compte. Un autre piège réside dans l'omission des éléments caractéristiques : dire "c'est une symétrie" est insuffisant ; il faut préciser "symétrie axiale d'axe (AB)". Lors de la rédaction, soyez rigoureux :
1. Nommez la transformation.
2. Donnez ses caractéristiques (axe, centre, ou points d'origine et d'arrivée).
3. Justifiez brièvement en citant les propriétés de la figure obtenue (exemple : "Comme $ACBD$ est un losange, $D$ est le symétrique de $C$ par rapport à $(AB)$"). Une bonne rédaction montre au correcteur que vous ne devinez pas la réponse, mais que vous la déduisez logiquement des propriétés géométriques.