Analyse de l'énoncé : Les Fonctions dans l'ingénierie des écluses

Cet exercice du Brevet 2014 Amérique du Nord est un excellent exemple de l'application des mathématiques, notamment des **fonctions** impliquant des **racines carrées**, dans un contexte concret de génie civil : la gestion des écluses. Le niveau d'eau amont ($h$) et le niveau d'eau dans l'écluse ($x$) déterminent la vitesse d'écoulement ($v$) via une formule physique. Maîtriser cet exercice, c'est valider des compétences clés en substitution, résolution d'équations et analyse graphique.

Points clés et Méthode de Résolution

1. Calcul de la vitesse à l'ouverture (Substitution)

La première étape consiste à substituer les valeurs initiales ($h = 4,3$ m, $x = 1,8$ m et $g = 9,81$) dans la formule de la vitesse : $v = \sqrt{2g(h - x)}$.

• Calcul de la différence de hauteur : $h - x = 4,3 - 1,8 = 2,5$ m.
• Calcul de $2g(h - x) = 2 \times 9,81 \times 2,5 = 49,05$.
• La vitesse $v = \sqrt{49,05} \approx 7,0035$ m/s.
• L'arrondi à l'unité de la vitesse est donc $\mathbf{7}$ m/s.

2. Résolution d'Équation pour $v = 0$

La deuxième question demande de déterminer la valeur de $x$ qui annule la vitesse. Il s'agit de résoudre l'équation $v = 0$, soit $\sqrt{2g(h - x)} = 0$.

• Pour qu'une racine carrée soit nulle, son contenu doit être nul : $2g(h - x) = 0$.
• Puisque $2g \ne 0$, il faut que $h - x = 0$, soit $x = h$.
• Avec $h = 4,3$ m, la vitesse est nulle lorsque $\mathbf{x = 4,3}$ m.

On en déduit que l'écoulement s'arrête lorsque le niveau de l'eau dans l'écluse ($x$) atteint le niveau de l'eau en amont ($h$).

3. Lecture Graphique d'une Fonction

Le graphique représente la fonction $v$ en fonction de $x$. Pour déterminer la vitesse lorsque $x = 3,4$ m, on procède à une lecture graphique précise :

• Repérez $x = 3,4$ sur l'axe horizontal (hauteur en m).
• Projetez ce point verticalement sur la courbe bleue.
• Lisez la valeur correspondante sur l'axe vertical (vitesse en m/s).

Par lecture graphique, on estime que la vitesse d'écoulement lorsque la hauteur de l'eau dans l'écluse est de $3,4$ m est d'environ $\mathbf{4,2}$ m/s.