Analyse de l'énoncé : Distinguer Fréquence et Probabilité

Cet exercice du Brevet 2014 en Polynésie est fondamental pour réviser le chapitre des Probabilités, notamment le lien délicat entre la fréquence observée lors d'une expérience (statistiques) et la probabilité théorique (modélisation). Dans la première question, nous réalisons 40 tirages sur une bouteille contenant 20 billes.

Question 1 : L'erreur à éviter

L'expérience a donné 18 rouges, 8 bleues, 14 vertes sur 40 tirages. Les fréquences observées sont donc :

• Fréquence Rouge : 18/40 = 0,45
• Fréquence Bleue : 8/40 = 0,20
• Fréquence Verte : 14/40 = 0,35

La composition proposée (9 Rouges, 4 Bleues, 7 Vertes pour 20 billes au total) donne les probabilités théoriques suivantes :

• Probabilité Rouge : 9/20 = 0,45
• Probabilité Bleue : 4/20 = 0,20
• Probabilité Verte : 7/20 = 0,35

Bien que les fréquences observées soient *identiques* aux probabilités théoriques proposées, il est impossible d'affirmer que la composition est exactement (9, 4, 7). Pourquoi ? Car la fréquence observée n'est qu'une estimation de la probabilité. Selon la Loi des Grands Nombres, la fréquence ne tend vers la probabilité théorique qu'en multipliant le nombre d'essais. Avec seulement 40 tirages, le hasard joue un rôle important. La réponse est donc : Non, les résultats ne permettent pas de l'affirmer avec certitude.

Question 2 : Calcul des probabilités manquantes

La seconde partie de l'exercice porte sur les probabilités de base. Nous avons 24 billes au total. La somme des probabilités de tous les événements possibles doit toujours être égale à 1.

• P(Bleue) = 1/2
• P(Verte) = 3/8

Nous cherchons la probabilité de tirer une bille rouge, P(Rouge) :
$$P(Rouge) = 1 - P(Bleue) - P(Verte)$$
$$P(Rouge) = 1 - \frac{1}{2} - \frac{3}{8}$$
Pour effectuer le calcul, on met au même dénominateur (8) :
$$P(Rouge) = \frac{8}{8} - \frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{1}{8}$$

Détermination de l'effectif des billes rouges

La probabilité de tirer une bille rouge est 1/8. Pour trouver le nombre de billes rouges dans la bouteille (qui en contient 24 au total), on multiplie la probabilité par l'effectif total :
$$\text{Nombre de billes rouges} = P(Rouge) \times \text{Effectif total}$$
$$\text{Nombre de billes rouges} = \frac{1}{8} \times 24 = 3$$
La bouteille contient donc 3 billes rouges.

Points clés

• La fréquence expérimentale n'est qu'une estimation et ne garantit jamais la probabilité exacte pour un nombre fini d'essais.
• La somme des probabilités de tous les événements d'une expérience est toujours égale à 1.
• L'effectif d'un événement est obtenu en multipliant sa probabilité par l'effectif total.