Introduction à l'Arithmétique au Brevet
L'arithmétique est un pilier fondamental du programme de mathématiques de 3ème. Cet exercice, issu du sujet Brevet 2020 de Nouvelle-Calédonie, mobilise des notions clés : les critères de divisibilité, la décomposition en produits de facteurs premiers et l'application concrète des diviseurs communs à un problème de géométrie plane (découpage d'étiquettes). Maîtriser ces concepts est essentiel pour obtenir les points facilement sur cette partie du sujet.
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'exercice se décompose en deux parties : une approche théorique sur le nombre $102$ et une application pratique sur une feuille cartonnée de $85$ cm par $102$ cm.
1. Justification de la divisibilité par 3
Pour justifier que $102$ est divisible par $3$, on utilise le critère de divisibilité classique : un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres appartient à la table de $3$. Ici, $1 + 0 + 2 = 3$. Comme $3$ est divisible par lui-même, alors $102$ est divisible par $3$. En calcul mental, on peut aussi voir que $102 = 90 + 12$, deux nombres clairement divisibles par $3$.
2. Décomposition en produits de facteurs premiers
La décomposition est l'écriture d'un nombre sous forme d'une multiplication de nombres qui ne sont divisibles que par $1$ et par eux-mêmes. Pour $102$ :
- Il est pair, donc $102 = 2 \times 51$.
- On sait que $51$ est dans la table de $3$ (car $5+1=6$), donc $51 = 3 \times 17$.
- $17$ est un nombre premier. La décomposition finale est donc $102 = 2 \times 3 \times 17$. Cette étape est cruciale car elle permet d'identifier tous les diviseurs possibles du nombre.
3. Trouver 3 diviseurs non premiers
Un diviseur non premier (ou nombre composé) s'obtient en multipliant plusieurs facteurs premiers entre eux. À partir de $2 \times 3 \times 17$, on peut proposer :
- $2 \times 3 = 6$
- $2 \times 17 = 34$
- $3 \times 17 = 51$
- $2 \times 3 \times 17 = 102$ est aussi un diviseur non premier. On évite $2, 3$ et $17$ qui sont eux, par définition, premiers.
4. Application : Le découpage d'étiquettes de 34 cm
Le problème demande si l'on peut découper des carrés de $34$ cm dans un rectangle de $85$ cm sur $102$ cm sans chute. Cela revient à demander si $34$ est un diviseur commun à $85$ et $102$.
- Pour $102$ : On a vu que $102 = 34 \times 3$. C'est bon.
- Pour $85$ : La division $85 / 34$ donne $2,5$. $34$ n'est donc pas un diviseur de $85$.
**Conclusion :** On ne peut pas utiliser des étiquettes de $34$ cm car on ne peut pas en placer un nombre entier sur la largeur de la feuille.
5. Calcul du nombre d'étiquettes de 17 cm
Ici, $17$ est bien un diviseur commun ($85 = 17 \times 5$ et $102 = 17 \times 6$).
- Sur la longueur de $102$ cm, on place $102 / 17 = 6$ étiquettes.
- Sur la largeur de $85$ cm, on place $85 / 17 = 5$ étiquettes.
- Au total, le nombre d'étiquettes est de $6 \times 5 = 30$.
Les Pièges à Éviter
L'erreur la plus fréquente est de diviser l'aire totale par l'aire d'une étiquette sans vérifier si le côté du carré divise bien chaque dimension du rectangle. Si le diviseur n'est pas commun, il y aura des chutes ! Un autre piège est d'oublier de citer le critère de divisibilité dans la question 1 : une simple division à la calculatrice ne suffit pas toujours comme justification théorique.
Conseils de Rédaction
Pour maximiser vos points, structurez vos réponses :
1. Énoncez la règle ou le critère utilisé.
2. Montrez le calcul de vérification.
3. Concluez par une phrase explicite répondant à la question posée. Par exemple : "Puisque 34 ne divise pas 85, le libraire ne pourra pas découper des étiquettes de cette dimension sans faire de chutes." L'utilisation du vocabulaire précis (diviseur, multiple, produit, facteurs) est fortement valorisée par les correcteurs du Brevet.