Analyse de l'énoncé et Rappels Théoriques
Cet exercice, issu du Brevet des Collèges 2014 (Métropole), est un excellent exemple d'application concrète de la trigonométrie et de la géométrie plane. Il s'agit de modéliser l'illumination au sol produite par deux sources lumineuses, le lampadaire (H) et le spot (F), en utilisant exclusivement des triangles rectangles. C'est un grand classique du DNB pour évaluer la maîtrise de la fonction Tangente.
Nous rappelons les deux outils principaux nécessaires :
- Triangle Rectangle : Les structures (lampadaire HP, façade CF) sont perpendiculaires au sol (PC).
- Trigonométrie (SOH CAH TOA) : La tangente est essentielle ici, car elle relie les côtés opposés et adjacents aux angles d'élévation donnés : $\text{tan}(\text{angle}) = \frac{\text{Côté Opposé}}{\text{Côté Adjacent}}$.
Question 1 : Justifier la longueur PL (3,4 m)
La lumière du lampadaire H touche le sol en L. Nous travaillons dans le triangle HPL, rectangle en P. L'angle $\widehat{\text{PHL}}$ est donné à $40\degres{}$.
Dans $\triangle HPL$, $HP$ (4 m) est le côté Adjacent à $\widehat{\text{PHL}}$ et $PL$ est le côté Opposé. On utilise la tangente : $PL = HP \times \text{tan}(40\degres{})$.
Calcul : $PL = 4 \times \text{tan}(40\degres{}) \approx 3,3564 \text{ m}$. L'arrondi au décimètre (un chiffre après la virgule) est bien $\mathbf{3,4 \text{ m}}$.
Question 2 : Calculer la longueur LM
La zone éclairée par les deux sources est l'intersection des segments $PL$ (lampadaire) et $MC$ (spot F). Pour trouver $LM$, nous devons d'abord calculer la distance $MC$.
Nous utilisons le triangle FMC, rectangle en C. L'angle $\widehat{\text{MFC}}$ est $33\degres{}$.
Dans $\triangle FMC$ : $CF = 5 \text{ m}$ (Adjacent) et $MC$ (Opposé). $MC = CF \times \text{tan}(33\degres{}) = 5 \times \text{tan}(33\degres{}) \approx 3,247 \text{ m}$.
La longueur totale $PC$ est $5,5 \text{ m}$. Comme $PL + MC \approx 3,3564 + 3,247 = 6,6034 \text{ m}$, et que cette somme est supérieure à $PC$, il y a un chevauchement $LM$.
La longueur de chevauchement est : $LM = (PL + MC) - PC$. $LM = 6,6034 - 5,5 = 1,1034 \text{ m}$. Arrondi au décimètre, la longueur $LM$ est $\mathbf{1,1 \text{ m}}$.
Question 3 : Déterminer le nouvel angle $\widehat{CFM}$
Si M et L sont confondus (appelons ce point K), la distance $PK$ est $PL \approx 3,3564 \text{ m}$. Nous devons calculer la distance $CK$ depuis le pied de l'immeuble : $CK = PC - PK = 5,5 - 3,3564 = 2,1436 \text{ m}$.
Dans le triangle rectangle $CFK$, nous cherchons l'angle $\widehat{CFK}$ : $\text{tan}(\widehat{\text{CFK}}) = \frac{CK}{CF} = \frac{2,1436}{5} \approx 0,42872$.
En utilisant la fonction arc-tangente : $\widehat{\text{CFK}} = \text{arctan}(0,42872) \approx 23,20\degres{}$. Arrondi au degré, l'angle est $\mathbf{23\degres{}}$.