Analyse de l'énoncé : Maîtriser les Probabilités au Brevet

Cet exercice, issu de l'épreuve de mathématiques du Brevet 2014 en Polynésie, est un classique incontournable du chapitre sur les Probabilités. Il teste la capacité de l'élève à interpréter un tableau de contingence (ou tableau à double entrée) pour déterminer l'univers des possibles et calculer différentes probabilités d'événements simples et composés.

Le principe fondamental des probabilités au niveau 3ème est appliqué ici : la probabilité d'un événement $E$ est donnée par la formule $P(E) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre total de cas possibles}}$, puisque les boules sont indiscernables au toucher (situation d'équiprobabilité).

Étape 1 : Détermination de l'Univers des Possibles (Question 1)

La première étape est cruciale : calculer le nombre total de boules. Il suffit d'additionner toutes les valeurs contenues dans le tableau :

• Boules Rouges (R) : 3 (A) + 2 (B) = 5
• Boules Vertes (V) : 5 (A) + 2 (B) = 7
• Boules Bleues (B) : 2 (A) + 6 (B) = 8
• Total général : 5 + 7 + 8 = 20 boules.

Ce nombre (20) devient le dénominateur de toutes nos fractions de probabilité.

Étape 2 : Calcul des Probabilités Composées et Simples (Question 2)

Pour la question 2.a (Bleu et A), on lit directement l'intersection : 2 boules. La probabilité est donc $2/20$, qui se simplifie bien en $1/10$. Pour la question 2.b (Rouge), on additionne les cas favorables (Rouge A et Rouge B) : 3 + 2 = 5 boules. $P(\text{Rouge}) = 5/20 = 1/4$.

Étape 3 : Comparaison des Événements (Question 2.c)

Pour comparer la chance de tirer A ou B, il faut calculer le total de boules portant la lettre A et la lettre B : Total A = 3 + 5 + 2 = 10 boules. Total B = 2 + 2 + 6 = 10 boules. Puisque le nombre de cas favorables est identique (10), les probabilités sont égales : $10/20 = 1/2$. On a autant de chance de tirer une boule portant la lettre A que la lettre B.

Points clés à retenir

• Un tableau de contingence liste l'intégralité des issues possibles.
• Le 'Nombre total de cas' est la somme de toutes les fréquences.
• Pour une probabilité marginale (ex: P(Rouge)), il faut sommer toutes les valeurs de la ligne ou colonne correspondante.
• Toujours simplifier les fractions de probabilité à leur forme irréductible.