Analyse de l'énoncé et contexte pédagogique
Cet exercice, issu du sujet de Pondichéry 2015, s'inscrit parfaitement dans le programme de mathématiques de Première Spécialité, notamment dans le chapitre des probabilités. L'exercice propose une situation concrète de jeu télévisé, ce qui permet d'illustrer la notion d'expériences aléatoires à deux étapes. Bien que le niveau initial soit celui du collège, la structure de l'épreuve permet d'introduire des concepts fondamentaux du lycée tels que l'univers pondéré et les probabilités conditionnelles.
Points de vigilance et notions de cours requises
Pour aborder sereinement cet exercice, plusieurs compétences doivent être mobilisées :
- La loi d'équirépartition : Savoir que si toutes les issues ont la même chance de se produire, la probabilité d'un événement est égale au quotient du nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues.
- La lecture d'énoncé : Il est crucial de bien distinguer les deux étapes. La première étape concerne le choix de la porte, et la seconde le choix de l'enveloppe à l'intérieur de la salle choisie.
- Le complémentaire : Pour la question sur la salle de consolation, il est souvent utile de savoir que la somme des probabilités des issues d'une expérience est égale à 1.
Correction détaillée de l'exercice
1. Calcul de la probabilité d'accéder à la salle du trésor :
Le candidat est face à 5 portes identiques. Une seule porte permet d'accéder à la salle du trésor. Nous sommes dans une situation d'équiprobabilité. La probabilité $P(T)$ est donc :
$$P(T) = \frac{1}{5} = 0,2$$.
2. Analyse de la salle du trésor :
a. Représentation schématique :
Dans cette salle, il y a 8 enveloppes. On peut schématiser la répartition des gains sous forme de liste ou d'un arbre de probabilités partant du nœud "Salle du Trésor" :
- Branche 1000 € : $1/8$
- Branche 200 € : $5/8$
- Branche 100 € : $2/8$ (car $8 - 1 - 5 = 2$ enveloppes restantes).
b. Probabilité de gagner au moins 200 € :
L'événement "gagner au moins 200 €" correspond à gagner soit 200 €, soit 1000 €. Ces événements étant disjoints, on additionne leurs probabilités respectives :
$$P(\text{Gain} \ge 200 | T) = \frac{1}{8} + \frac{5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$$.
3. Analyse de la salle de consolation :
Le candidat est ici face à 8 enveloppes. On sait que 5 enveloppes contiennent 100 €. Les enveloppes restantes sont vides. Le nombre d'enveloppes vides est donc de $8 - 5 = 3$. La probabilité de ne rien gagner (choisir une enveloppe vide) est de :
$$P(\text{Rien} | C) = \frac{3}{8} = 0,375$$.
Approfondissement pour la Première Spécialité
Dans le cadre du programme de spécialité, cet exercice pourrait être prolongé par l'étude d'une variable aléatoire $X$ représentant le gain du joueur. En utilisant la formule des probabilités totales, on pourrait calculer la probabilité globale de gagner 100 €, notée $P(X=100)$ :
$$P(X=100) = P(T \cap 100) + P(C \cap 100) = (1/5 \times 2/8) + (4/5 \times 5/8)$$. Cela permet ensuite de calculer l'espérance mathématique du jeu pour déterminer s'il est avantageux pour le candidat.