Analyse de l'énoncé

Cet exercice, tiré de la session 2014 des Centres étrangers, est un classique du Brevet visant à vérifier la bonne compréhension du Calcul littéral, et plus spécifiquement l'application des identités remarquables. Il est construit en deux temps : d'abord le développement formel (l'algèbre), puis l'application numérique (l'arithmétique), prouvant ainsi l'utilité de la simplification algébrique.

La question 1 demande de développer et réduire l'expression : $(2n + 5)(2n - 5)$. Il est crucial d'identifier immédiatement qu'il s'agit de la troisième identité remarquable : $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Points clés et Méthode de Résolution

• Question 1 : Reconnaissance de l'identité remarquable. En posant $a = 2n$ et $b = 5$, le développement direct donne : $(2n)^2 - 5^2$. La réduction est donc $4n^2 - 25$. Cette étape est rapide et doit être maîtrisée pour gagner du temps lors de l'examen.
• Question 2 : Application au calcul numérique. L'objectif est d'utiliser le résultat de la question 1 pour calculer $205 imes 195$. L'élève doit observer que $205$ et $195$ sont symétriques autour de $200$. On peut donc écrire : $205 = 200 + 5$ et $195 = 200 - 5$.
• Transfert algèbre/arithmétique. En comparant $(200 + 5)(200 - 5)$ avec $(2n + 5)(2n - 5)$, on déduit que $2n$ doit être égal à $200$. Le calcul devient alors : $205 imes 195 = (200)^2 - 5^2$.
• Calcul final : $40 000 - 25 = 39 975$.

Cet exercice met en lumière la puissance des identités remarquables : elles transforment une multiplication complexe en une soustraction de carrés, simplifiant grandement le calcul mental ou posé.