Introduction : Les piliers de la géométrie en 3ème

Cet exercice issu du Brevet 2022 (Zone Asie) est un véritable condensé du programme de géométrie de troisième. Il mobilise quatre compétences fondamentales : l'utilisation du théorème de Thalès dans une configuration dite "papillon", la réciproque du théorème de Pythagore pour prouver la nature d'un triangle, l'identification des transformations géométriques (homothétie) et enfin la maîtrise des coefficients d'agrandissement appliqués aux aires. C'est un exercice complet qui permet de vérifier si l'élève sait non seulement appliquer des formules, mais aussi justifier avec rigueur ses affirmations.

Analyse de la Question 1 : Calculer une longueur avec Thalès

Pour démontrer que le segment [EC] mesure 4,8 cm, il est impératif d'identifier la configuration de Thalès. Nous sommes en présence de deux droites parallèles (AB) et (CD) et de deux droites sécantes (AD) et (BC) se coupant en E. Il s'agit de la configuration "en papillon".

Le raisonnement doit être structuré ainsi :
1. On précise que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
2. On mentionne que les points A, E, D d'une part et B, E, C d'autre part sont alignés.
3. D'après le théorème de Thalès, on peut écrire l'égalité des rapports : EB/EC = EA/ED = AB/CD.

En utilisant les valeurs connues : 7,2 / EC = 9 / 6. Par un produit en croix, on obtient EC = (7,2 × 6) / 9 = 43,2 / 9 = 4,8 cm. La rédaction doit être impeccable pour obtenir l'intégralité des points.

Analyse de la Question 2 : Le triangle ECD est-il rectangle ?

Ici, on cherche à vérifier une propriété. On connaît les trois côtés du triangle ECD : ED = 3,6 cm, CD = 6 cm et EC = 4,8 cm (calculé précédemment). Pour savoir s'il est rectangle, on utilise la réciproque ou la contraposée du théorème de Pythagore.

Calculons le carré du plus long côté : CD² = 6² = 36.
Calculons la somme des carrés des deux autres côtés : ED² + EC² = 3,6² + 4,8² = 12,96 + 23,04 = 36.
On constate que CD² = ED² + EC². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ECD est donc rectangle en E.

Analyse de la Question 3 : Identifier l'Homothétie

La question demande quelle transformation permet de passer du triangle ECD au triangle ABE. Plusieurs éléments nous mettent sur la piste :
- Le point E est commun aux deux triangles et semble être le centre de la transformation.
- Les triangles ne sont pas superposables (pas de symétrie axiale, centrale ou de translation simple car les dimensions changent), mais ils ont la même forme (leurs côtés sont proportionnels).
- Le triangle ABE est une version agrandie du triangle ECD, mais il est "inversé" par rapport au point E.

La réponse attendue est l'Homothétie. Plus précisément, c'est une homothétie de centre E et de rapport négatif (puisque les points A et B sont de l'autre côté de E par rapport à D et C). Le rapport serait de -1,5 (car 9 / 6 = 1,5).

Analyse de la Question 4 : L'aire et le facteur d'agrandissement

C'est le piège classique du Brevet. On nous dit que BE est 1,5 fois plus grande que EC. Cela signifie que le coefficient d'agrandissement des longueurs est k = 1,5. L'affirmation prétend que l'aire est aussi multipliée par 1,5.

Rappel de cours crucial : dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, mais les aires sont multipliées par k². Ici, l'aire du triangle ABE sera multipliée par 1,5², soit 2,25. L'affirmation est donc FAUSSE. Il est essentiel pour l'élève de citer cette propriété de k² pour justifier sa réponse.

Conseils de rédaction et pièges à éviter

1. La précision du vocabulaire : Ne confondez pas le théorème de Pythagore (pour calculer une longueur) et sa réciproque (pour prouver qu'un triangle est rectangle).
2. Le soin des calculs : Dans la question 2, calculez séparément CD² et ED²+EC². N'écrivez pas l'égalité avant d'avoir prouvé qu'elle est vraie.
3. Les unités : N'oubliez pas de mentionner les 'cm' ou 'cm²' dans vos conclusions, même si les calculs intermédiaires n'en comportent pas.
4. L'homothétie : Souvent oubliée au profit de la symétrie, l'homothétie est pourtant la seule transformation qui modifie la taille des figures tout en conservant les angles et les proportions.