Analyse de l'énoncé : Les Probabilités du Pierre-Feuille-Ciseaux

Cet exercice du Brevet 2014 porte sur les Probabilités, une notion fondamentale au collège. Il utilise le contexte familier du jeu « pierre-feuille-ciseaux » pour évaluer la compréhension des probabilités simples, des événements contraires et, dans sa seconde partie, des probabilités successives à l'aide d'un arbre.

La clé de cet exercice réside dans l'hypothèse d'équiprobabilité : l'adversaire jouant au hasard, chaque coup (pierre, feuille ou ciseaux) a la même chance d'être choisi, soit une probabilité de $1/3$.

Points clés et méthodes de résolution

• Probabilité simple (Q1) : Puisqu'il y a trois issues possibles équiprobables (P, F, C), toute probabilité d'un événement simple sera $1/3$. Si je joue « pierre », je perds uniquement si l'adversaire joue « feuille ».
• Événements contraires (Q1.b) : La probabilité qu'un événement ne se réalise pas est égale à $1$ moins la probabilité qu'il se réalise. $P(\text{ne pas perdre}) = 1 - P(\text{perdre})$.
• Arbre des possibles (Q2) : Pour modéliser deux parties successives et indépendantes, l'arbre est l'outil indispensable. Chaque étape (partie) doit avoir ses trois branches (P, F, C), portant chacune la probabilité $1/3$. L'arbre final comportera $3 \times 3 = 9$ issues possibles.
• Probabilités successives (Q3) : Pour trouver la probabilité d'un chemin complet dans l'arbre (par exemple, Gagner la partie 1 ET Gagner la partie 2), on multiplie les probabilités rencontrées le long des branches.

Résolution détaillée des questions

Question 1 : Partie unique

Je joue « pierre ». Les issues pour l'adversaire (A) sont P, F ou C (chacune $1/3$).

• 1.a. Je perds si A joue Feuille (F). $P(\text{perdre}) = 1/3$.
• 1.b. Je ne perds pas si je gagne (A joue Ciseaux) ou s'il y a match nul (A joue Pierre). $P(\text{ne pas perdre}) = P(\text{gagner}) + P(\text{nul}) = 1/3 + 1/3 = 2/3$. (Vérification par l'événement contraire : $1 - 1/3 = 2/3$).

Question 3 : Deux parties

• 3.a. Gagner les deux parties. Gagner une partie signifie que l'adversaire joue Ciseaux ($P = 1/3$). Les parties étant indépendantes : $P(\text{gagner les deux}) = P(\text{gagner 1}) \times P(\text{gagner 2}) = 1/3 \times 1/3 = 1/9$.
• 3.b. Ne perdre aucune des deux parties. Cela signifie Gagner OU Nul à chaque partie ($P = 2/3$ pour chaque partie). $P(\text{ne perdre aucune}) = P(\text{ne pas perdre 1}) \times P(\text{ne pas perdre 2}) = 2/3 \times 2/3 = 4/9$.